65. Еще о трисекции угла.

Вот способ деления произвольного угла на три равные части (посредством «вставки»), указанный еще в древней Греции (возможно Архимедом, жившим около 287—212 г.г. до н. э.).

Черт. 40.

Может показаться, что этот способ дает то решение задачи о трисекции произвольного угла, о котором говорилось выше, как о невозможном для бесконечного множества углов.

Продолжим одну из сторон данного произвольного угла (черт. 40) за вершину В и начертим произвольным радиусом полуокружность с центром в пусть эта полуокружность пересекает вторую сторону угла в точке Затем берем линейку и делаем на ее ребре две метки на расстоянии друг от друга. Укладываем линейку так, чтобы ее ребро проходило через точку и чтобы метка Е оказалась на продолжении В А. Метка окажется при этом либо вне

полуокружности, либо внутри ее, либо на ней. В первых двух случаях будем переметать линейку, соблюдая оба указанных условия (линейка должна проходить через точку а метка Е должна лежать на продолжении и добьемся того, чтобы метка оказалась на полуокружности. Как говорят, выполнена «вставка» отрезка между прямой и окружностью, причем эта «вставка» делается на луче, исходящем из точки

Теперь мы получили равнобедренный треугольник Обозначив каждый из двух равных углов при его основании через 3, имеем, что Но треугольник тоже равнобедренный, а потому Остается рассмотреть треугольник для которого угол как внешний, равен сумме Итак, есть, следовательно, ровно треть данного произвольного угла а.

Черт. 41.

Мы решили задачу трисекции произвольного угла посредством циркуля и линейки, и с первого взгляда представляется, что это решение опровергает то, что сказано в о невозможности трисекции очень многих углов. Но более внимательное рассмотрение показывает, что никакого противоречия здесь нет. Доказано, что не всякий угол можно разделить на три равные части посредством проведения конечного числа прямых и окружностей. Но при решении по способу «вставки» линейка была использована не только для проведения прямых линий, а и для выполнения более сложной операции — самой «вставки» радиуса между продолжением и полуокружностью: линейка была использована не так, как предусмотрено теорией. В сущности говоря, мы использовали линейку для вычерчивания особой кривой, так

называемой конхоиды: вращая линейку около точки и одновременно перемещая ее так, чтобы точка Е все время была на прямой мы заставляем вторую метку (точку F) двигаться по плоскости, вычерчивая кривую, показанную на чертеже 41. Эта кривая и называется конхоидой. В нашем решении была использована точка пересечения конхоиды с полуокружностью.

Итак, решение задачи трисекции угла по способу «вставки» основано на построении, кроме прямых и окружности, еще и конхоиды, и ни в какой мере не опровергает доказываемую в теории геометрических построений теорему о невозможности трисекции произвольного угла посредством конечного числа прямых и окружностей.