36. О сумме 1-1+1-1 + ...

Пусть имеется сумма (алгебраическая) бесконечного множества слагаемых, равных поочередно плюс единице и минус единице; попробуем найти значение этой суммы. Обозначив ее через х, имеем:

Переписав равенство (1) в несколько преобразованном виде, а именно:

замечаем, что в скобке у нас получилась снова первоначально взятая сумма; заменяя ее через х, имеем уравнение корень которого равен 0,5.

Но если мы будем находить значение х интересующей нас суммы (1), предварительно заключив в скобки каждую

пару слагаемых, состоящую из одного положительного и одного отрицательного слагаемого, то получим:

Можно действовать еще по-другому. Будем соединять слагаемые в пары, начиная не с первого, а со второго слагаемого, и ставить перед каждой парой слагаемых знак минус. Тогда получим, что

Наконец, переставив каждое положительное слагаемое на место отрицательного и обратно, мы придем к сумме:

Итак, действуя четырьмя различными и, казалось бы, одинаково правильными способами, мы пришли к четырем различным заключениям о значении х, а именно: х оказался у нас равным Это можно рассматривать как «доказательство» явной нелепости, что