42. О некоторых ученических ошибках.

В заключение настоящей главы, отведенной рассмотрению ошибок в алгебраических рассуждениях, проанализируем две очень простые, но, к сожалению, очень часто допускаемые ошибки, а затем предложим несколько вопросов для самостоятельных размышлений читателя.

Первая из них относится к сокращению алгебраических дробей: зачеркивают одинаковые буквы в числителе и знаменателе дроби, не заботясь о том, означают ли эти буквы множители всего числителя и всего знаменателя или нет.

Так, производят сокращение дроби на х и получают дробь забывая о том, что сократить дробь — значит разделить ее числитель и знаменатель на одно и то же число

и что, хотя для деления одночленного числителя на х достаточно зачеркнуть в нем х, для деления двучленного знаменателя на х надо разделить на х каждый член, как так и После деления на х данная дробь примет такой вид:

а вовсе не . Наше «сокращение» привело к неудобной «трехэтажной» дроби, и делать его здесь, конечно, не следует.

Итак, надо твердо помнить, что при сокращении алгебраических дробей можно зачеркивать лишь одинаковые множители всего числителя и всего знаменателя. Не соблюдая этого правила, легко прийти к такому заключению:

Совершаемая при таком «сокращении» ошибка сводится к нарушению распределительного закона (или распределительного свойства) для частного от деления алгебраической суммы. Закон этот говорит, что для деления суммы на некоторое число надо разделить на это число каждый член этой суммы, и выражается формулой:

Другая, тоже очень распространенная, ошибка заключается в почленном извлечении корня из суммы: считают, что для извлечения корня из суммы надо извлечь корень из каждого слагаемого отдельно, т. е. что Ясно, что это неверно: ведь равно а не . Равенство является очевидной нелепостью и с точки зрения геометрии: ведь оно выражает равенство гипотенузы и суммы катетов в произвольном прямоугольном треугольнике! Оказывается, что действие извлечения корня не обладает распределительным свойством по отношению к сумме и разности, но обладает им по отношению к произведению и частному:

Отметим, что действия второй ступени (умножение и деление) обладают распределительным свойством по отношению к результатам действий первой ступзни (сложению и вычитанию). Действия третьей ступени (возведение в степень и извлечение корня) обладают распределительным свойством по отношению к результатам действий второй ступени и не обладают им по отношению к результатам действий первой ступени.

Всякий ошибочный ответ противоречит одному из исходных принципов или одному из ранее полученных выводов данной отрасли знания. Возникает возможность постановки вопроса: существуют ли условия, и если да, то какие, при соблюдении которых ошибочное (в общем случае) утверждение оказывается справедливым.

В практике преподавания следует воспользоваться некоторыми из ученических ошибок как поводом для проведения весьма ценных в педагогическом отношении элементарных исследований. От учащихся здесь требуется установить, при каком дополнительном условии ошибочное соотношение окажемся справедливым. Подобными упражнениями достигается углубленное осознание теории и допущенной ошибки. Эти же упражнения играют известную роль в развитии функционального мышления учащихся, так как на каждое выражение вырабатывается взгляд как на функцию входящих в него букв.

Конкретизируем высказанные утверждения на анализе одного примера.

Ученик VII класса, выполняя действие сложения двух дробей, сложил их числители и знаменатели отдельно, первую сумму взял за числитель, вторую за знаменатель, т. е. выполнил сложение дробей так:

Несмотря на явную неправильность формулы (1), если под буквами разуметь произвольные числа, можно указать бесконечное множество таких значений для с и при которых равенство (1) будет иметь место. К числу таких значений принадлежат, например, следующие: Вообще равенство (1) будет удовлетворяться любой системой из четырех чисел, взятых при условии:

К последнему соотношению приходим с помощью следующих элементарных выкладок:

или

Придавая произвольные значения исключая и находя соответствующие значения а по формуле (2), получим бесконечное множество систем из четырех чисел, удовлетворяющих формуле (1).

Равенство (1) справедливо тогда и только тогда, когда выполнено дополнительное условие (2). Подобные формулы не имеют, конечно, практического значения. С их помощью можно только пополнить коллекцию арифметических курьезов.

Формула не связана ни с какими ограничениями, если не считать требования, чтобы были отличными от нуля, выражающего запрет деления на нуль. Разумеется, только эта формула выражает правило сложения алгебраических дробей.

Теперь предложим упражнения для самостоятельного проведения подобных исследований.

В каких частных случаях эта грубейшая ошибка не приведет к заблуждению?

Тот же вопрос.

Аналогичный вопрос.