66. Квадратура круга.

Знаменитая задача о квадратуре круга была поставлена еще задолго до начала нашего летоисчисления, окончательно же ее решили лишь в 1882 г. Состоит эта задача в том, что требуется построить квадрат, равновеликий данному кругу, т. е. имеющий одинаковую с ним площадь. Обозначив радиус данного круга буйвой а сторону искомого квадрата буквой х, имеем уравнение из которого находим Так как число выражающее отношение длины окружности к диаметру, известно с очень большой точностью, а извлечь квадратный корень из любого числа можно с произвольно высокой точностью, то для х легко получаем следующее выражение:

где значения к и взяты с восемью десятичными знаками. Однако, говоря о решении задачи о квадратуре круга, имеют в виду не это вычисление, а построение стороны искомого квадрата по данному радиусу круга, притом построение, выполняемое посредством проведения конечного числа прямых и окружностей, т. е. при употреблении только линейки и циркуля, и дающее сторону искомого квадрата точно, а не приближенно. Доказано, что в такой постановке

задача эта неразрешима. Однако попытки решения этой задачи людьми, мало знающими математику, продолжаются и до сегодняшнего дня.

Рассмотрим следующий давно известный способ построения квадрата, равновеликого данному кругу. Возьмем прямой круглый цилиндр, основанием которого служит данный круг радиуса высоту же цилиндра сделаем равной

Если катить этот цилиндр без скольжения по плоскости, на которую он кладется так, чтобы его ось была параллельна плоскости, то при одном обороте он покроет на плоскости прямоугольник, равный его развернутой боковой поверхности, а именно прямоугольник со сторонами Но площадь этого прямоугольника равна т. е. равна площади данного круга. Теперь остается лишь превратить полученный прямоугольник в равновеликий квадрат, а для этого, как известно, достаточно построить отрезок, являющийся средним пропорциональным между двумя смежными сторонами прямоугольника.

Было бы большой ошибкой думать, что это решение опровергает сказанное выше о невозможности решения задачи о квадратуре круга. Ведь здесь, кроме циркуля и линейки, которые были нужны для деления радиуса пополам и для построения среднего пропорционального между мы пользовались еще одним инструментом, а именно тем цилиндром, который катили по плоскости.