не меняется и, наконец, в А рука делает последний поворот — на угол 
Обход закончен, я вернулся в исходную точку, рука вернулась в исходное положение — она вновь направлена от А к В. Во время своего обхода рука совершила один полный оборот, т. е. повернулась на 360°.
Черт. 42
Но этот полный оборот является суммой трех поворотов, а именно на углы 
которые являются внешними для данного треугольника 
Итак,
Но каждый из внешних углов можно заменить разностью между 180° и соответствующим внутренним углом. Поэтому имеем:
где 
внутренние углы треугольника 
Раскрывая скобки и делая приведение подобных членов, приходим к равенству:
Это простое и понятное доказательство не опирается ни на какие теоремы геометрии, кроме теоремы о сумме двух смежных углов, в частности, не ссылается на теоремы о параллельных прямых и не зависит, следовательно, от аксиомы о параллельных. Это обстоятельство было бы огромным преимуществом нашего доказательства, если бы только в ходе доказательства мы не опирались незаметным образом на некоторую новую аксиому.
В том, что это так, мы убеждаемся в силу следующего соображения. Возьмем сферу и на ней три точки 
притом так, чтобы дуги 
больших кругов сферы равнялись бы каждая 90° (можно за точку 
принять Северный полюс, точки 
взять на экваторе). Все приведенное выше рассуждение, доказывающее, что сумма внутренних
углов плоского треугольника 
равна 
применимо без каких бы то ни было изменений и к нашему сферическому треугольнику 
надо только иметь в виду, что под направлением дуги на сфере разумеют направление касательной к этой дуге (в рассматриваемой точке). Итак, наше рассуждение доказывает, что и сумма внутренних углов сферического треугольника 
равна 180°. Но это неверно, так как каждый из внутренних углов взятого нами сферического треугольника равен 90°, а их сумма, следовательно, равна 270°.
Обходя сферический треугольник с рукой, вытянутой по направлению движения, и вернувшись в исходное положение, мы совершим рукой, таким образом, поворот не на 360°, как в случае обхода плоского треугольника, а на другой угол. Утверждая, что после обхода плоского треугольника и возвращения к исходному положению мы имеем поворот на 360°, мы высказываем не что-то само собой разумеющееся и верное при всяких условиях, а основываемся на следующем свойстве плоскости, которого не имеет сфера: обход всякого треугольника на плоскости связан с поворотом на 360°. Принимая это свойство плоскости за очевидное, мы и вводим новую аксиому.
Итак, утверждение, что мы доказали теорему о сумме внутренних углов треугольника, не пользуясь ни аксиомой о параллельных, ни некоторой новой аксиомой, является ошибочным. Еще более ста лет назад наш гениальный геометр Николай Иванович Лобачевский (1792—1856) доказал, что невозможно устранить из нашей (евклидовой) геометрии аксиому о параллельных, не вводя взамен нее некоторую другую аксиому.
и совершим обход по его периметру из вершины А через вершины 
и С снова в А. Представим себе, что, совершая этот обход, я держу перед собой руку, вытянув ее по направлению своего движения. Двигаясь от 
до В, я сохраняю направление руки неизменным. Достигнув вершины В, я вращаю руку против часовой стрелки на угол 
(черт. 42). Далее, при движении от В до С направление руки снова остается неизменным. В точке С рука делает новый поворот — на угол 
Затем при движении от С до 
направление руки
