68. Как вычислять объем усеченной пирамиды?

Как известно, площадь трапеции можно получить, взяв произведение полусуммы ее оснований на высоту, или же взяв произведение ее средней линии на высоту. Оба способа дают одно и то же, так как трапеция равновелика прямоугольнику, основанием которого служит средняя линия трапеции, а высота одинакова с высотой трапеции.

В связи с этим возникает вопрос: нельзя ли вычислить объем усеченной пирамиды вместо обычного способа, основанного на формуле где высота усеченной пирамиды, и площади двух ее

оснований, другим способом, основанным на замене усеченной пирамиды призмой, основанием которой служит среднее сечение усеченной пирамиды, а высота одинакова с высотой усеченной пирамиды? Средним сечением усеченной пирамиды называют такое ее сечение, которое производится параллельно ее основаниям через середину высоты.

Заметим, что в технике при вычислении объема усеченной пирамиды (например, при обмере песка, заготовленного для дорожных работ) поступают обычно именно так: находят площадь среднего сечения, затем умножают ее на высоту усеченной пирамиды.

Многие думают, что этот способ дает результаты вполне точные, подобно тому, как точные результаты дает вычисление площади трапеции как произведения средней линии на высоту. Выясним, так ли это, ограничиваясь рассмотрением лишь простого случая, когда основания усеченной пирамиды — квадраты со сторонами а и

Объем такой усеченной пирамиды выражается формулой Среднее сечение представляет собой квадрат со стороной Объем призмы, основанием которой служит это среднее сечение, а высота равна высоте усеченной пирамиды, вычисляется по формуле

Найдем разность Как показывает расчет, она равна а потому является всегда величиной положительной. Итак, не равно V, а всегда меньше

Как велико может быть расхождение между Выражение для разности показывает, что она растет с возрастанием разности между а и Самым неблагоприятным случаем будет тот, когда т. е. когда верхнее основание усеченной пирамиды обращается в одну точку и пирамида из усеченной делается полной. В этом случае и вычисление по формуле для дает значение объема, меньшее истинного его значения на 25% последнего.

Чтобы оценить погрешность в общем случае, когда положим и выразим в зависимости от х отношение Так как то подстановка дает, после

сокращения на а и формулу Если х малая дробь, ее значением сравнительно с 1 можно пренебречь, тем более можно пренебречь и дробью Все выражение в скобке в знаменателе дроби заменится при этом единицей, и мы приходим к формуле:

Эта формула говорит, что при разнице между а и например, в 0,1 от меньше V приблизительно на от Действительно, взяв см, см, см, получаем по точной формуле куб. см, а по приближенной куб. см. Разность равна 1 куб. см, что составляет около от

При небольших значениях разности сравнительно с а приближенная формула дает, как видим, довольно точные результаты.

Конечно, этот же прием приближенного вычисления объема применим и к вычислению объема усеченного конуса: берется произведение среднего сечения усеченного конуса на высоту; среднее сечение усеченного конуса есть окружность с радиусом (диаметром), равным полусумме радиусов (диаметров) обоих оснований усеченного конуса.