5. Подмена точных определений геометрической интуицией.

Доказательство всякого математического суждения должно быть основано: на первичных понятиях, на точных определениях всех остальных понятий, аксиомах, ранее доказанных теоремах данной научной области и только на них. Определения устраняют неопределенность используемых понятий (терминов), которая часто служит причиной разнообразных заблуждений. Известное правило Паскаля (1623— 1662) предупреждает, что для проверки нужно подставлять определения вместо терминов.

Одпако нередко возникают ошибки из попыток учащихся устанавливать в качестве дополнительных оснований доказательства какие-либо данные опыта, извлекаемые из наглядного изображения. Это дало повод для появления еще в середине прошлого века среди ярко выраженных умов аналитического склада тенденции к изгнанию чертежа из математики.

Созерцание чертежа производит на начинающих изучение курса математики сильное впечатление. Оно выступает в качестве бесспорного факта, которому надлежит только подыскать подходящее объяснение. Даже студенты под влиянием наглядного образа порой склонны забывать о точных определениях тех или иных понятий, особенно там, где зрительное впечатление, казалось бы, полностью дает непосредственный ответ на поставленный вопрос, не требуя косвенной проверки.

Итак, рассматриваемый вопрос достаточно сложен, а правильное его понимание имеет исключительно большое идейно-образовательное значение. Последнему способствует разбор специально подобранных примеров, построенных на излишнем доверии к геометрической интуиции, которая, казалось бы, выступает в качестве эквивалента соответствующих точных определений. Пожалуй, это особенно относится к применению понятия предела. Софизмы на эту тему нашли свое отражение и в некоторых методически обработанных задачниках по математическому анализу.

Пример. Сумма катетов равна гипотенузе.

В прямоугольном треугольнике с катетами и гипотенузой с разделим последнюю на две равные части (черт. 3). Из точки деления опустим перпендикуляры на катеты. Легко видеть, что длина полученной ломаной линии равна сумме катетов Если взять теперь точки в середине отрезков и то с помощью такого же построения получим ломаную длина которой равна той же сумме катетов Наконец, мы можем мыслить такой процесс неограниченно продолжающимся, однако длина каждой из последовательно образованных ломаных линий будет оставаться неизменной. Но, с другой стороны, по мере возрастания числа своих звеньев ломаная все более и более приближается к гипотенузе треугольника. В самом деле, так как длины отрезков, составляющих ломаные линии, неограниченно уменьшаются, а их концы неограниченно приближаются к гипотенузе, то выходит, что ломаная стремится к слиянию с гипотенузой. Но тогда пределом длины ломаной служит длина гипотенузы. Однако одна и та же величина не может иметь двух пределов, а потому остается положить, что

Черт. 3

Разъяснение. В приведенном рассуждении допущен произвольный вывод: из стремления ломаной слиться с гипотенузой в том смысле, как это указано в тексте, нет оснований заключать, что пределом длины ломаной является длина гипотенузы. Таким образом, это предположение

осталось необоснованным. Обосновать его и нельзя, так как оно ложно В самом деле, мы здесь не находимся в условиях применимости понятия предела: разность между переменной величиной, в частном случае постоянной (длина ломаной), и ее предполагаемым пределом (гипотенузой) не является ни бесконечно малой величиной, ни ее частным случаем — нулем.

Для лучшего понимания вопроса и во избежание механического переноса этого вывода на определение длины окружности следует провести контрастное сопоставление.

Выдающийся популяризатор знаний почетный академик

Н. А. Морозов (1854—1946) считал, что софизмы типа «гипотенуза прямоугольного треугольника равна сумме его катетов» «имеют научный интерес, так как обращают наше внимание на важные особенности математических методов или самых наших математических представлений и генезиса этих представлений в наших головах».