75. Существуют равные треугольники, у которых не все стороны равны.

Чтобы убедиться в равенстве двух треугольников, нет необходимости знать о равенстве всех элементов этих треугольников; достаточно убедиться в равенстве некоторых из них. Действительно, первый признак равенства треугольников требует равенства двух сторон и угла, второй признак — двух углов и стороны и, наконец, третий признак — трех сторон.

Итак, для утверждения равенства двух треугольников требуется знать о равенстве трех элементов их, среди которых представлен по крайней мере один линейный.

Рассмотрим треугольники со сторонами:

Легко видеть, что треугольники этой пары имеют по две равные стороны.

С помощью формул

устанавливаем, что для каждого из углов одного треугольника найдется равный ему среди углов другого.

В самом деле:

Следовательно,

Значит,

Итак, пять элементов одного треугольника, среди которых два линейных, равны пяти элементам другого треугольника. Отсюда делаем вывод о равенстве этих треугольников.

Итак, существуют равные треугольники, у которых не все стороны равны.