ЧАСТИЧНО УПОРЯДОЧЕННОЕ МНОЖЕСТВО

— множество М, в котором введено отношение порядка, т. е. для некоторых пар элементов х, у установлено абстрактное отношение х < у (х предшествует у); при этом ни для какого х не должно быть х < х, и из должно следовать х < z (иногда Ч. у. м. называют упорядоченными). В алгебре Ч. у. м. обычно определяют как мн-во, на котором задано рефлексивное, антисимметричное и транзитивное отношение называемое также порядком. С отношением , введенным выше (тогда его называют строгим порядком), отношение связано следующим образом: или

Примеры. 1. Мн-во действительных чисел с обычным упорядочением; означает, что число положительно. В этом случае для любой пары элементов либо у, либо

Мн-во всех матриц с действительными элементами; означает, что для всех но . Очевидно, что существуют «несравнимые» матрицы , для которых ни ни

Мн-во всех непрерывных ф-ций на отрезке означает, что для всех но

В этом случае также существуют пары для которых ни ни

Понятие частичной упорядоченности важно в сочетании с алгебраическими структурами (напр., абелевой группой), или алгебраическими и топологическими (в теории частично упорядоченных линейных пространств). Частичная упорядоченность в киберн. системах часто имеет характер иерархического подчинения. Простейшей моделью такого подчинения является отношение подчинения между гранями симплекса: означает, что грань х является собственной гранью грани у.

Если М — Ч. у. м. с порядком то положив а -К b в том и только том случае, когда определим на М новый порядок. Возникающее при этом Ч. у. двойственным (или дуальным) к М. Для всякого высказывания о Ч. у. м. существует двойственное высказывание, получаемое заменой символа Напр., нижний конус подмн-ва А в Ч. у. м. М определяется условием а для всех а верхний конус условием: для всех Элемент максимальным, если или минимальным, если а. Элемент а в Ч. у. наибольшим (или единицей), если а для всех . Двойственным образом определяется наименьший элемент (или нуль). Конечно, всякий наибольший (наименьший) элемент максимален (минимален), но не наоборот. Если среди элементов нижнего конуса отличных от а, существует наибольший элемент b, то говорят, что а покрывает b (или что b непосредственно предшествует а, или а непосредственно следует за b). Если Ч. у. м. М имеет «0» и «1», то ряд где покрывает наз. композиционным рядом.

В исследовании Ч. у. м. и их применений чрезвычайно полезен принцип двойственности: если справедлива какая-либо теорема о Ч. у. сформулированная в общелогических терминах и терминах порядка, то справедлива и двойственная ей теорема.

Если для любых элементов х и у из Ч. у. м. М имеет место одно и только одно из трех утверждений: то множество М наз. линейно упорядоченным (или совершенно упорядоченным, а также цепью). Всякий минимальный (максимальный) элемент линейно упорядоченного мн-ва является наименьшим (наибольшим). Вообще говоря, подмножества линейно упорядоченного мн-ва не имеют миним. элементов; напр., во мн-ве упорядоченном обычным отношением «меньше», часть не имеет миним. элемента. Если каждая часть М имеет миним. элемент, М. наз. вполне упорядоченным множеством. Напр., мн-во натуральных чисел вполне упорядочено, а мн-во Z всех целых чисел — нет. По теореме Цермело (1904), любое мн-во может быть вполне упорядочено, т. е. в нем можно ввести отношение порядка, обладающее описанным выше свойством. Ч. у. изоморфными, если существует такое биективное отображение что из следует Если М частично упорядочено, то для любого подмножество отрезком М. Для двух вполне упорядоченных мн-в М и N можно показать, что либо М изоморфно отрезку N, либо — отрезку М: если верно то и другое, то М изоморфно N. Изоморфизм есть эквивалентности отношение между вполне упорядоченными мн-вами; классы эквивалентности наз. ординальными (порядковыми) числами. обозначает ординальное число, соответствующее М. Для ординальных чисел вводится отношение если М изоморфно отрезку N, но не N. Конечное ординальное число есть класс эквивалентности, содержащий отрезок натурального ряда , с

естественным упорядочением. Наименьшее бесконечное ординальное число со есть класс, содержащий весь натуральный ряд с естественным упорядочением. Порядковые числа важны как средство доказательства по методу трансфинитной индукции, который является естественным обобщением обычного метода полной индукции. Пусть требуется доказать предложение Р (а), формулировка которого содержит произвольное ординальное число а. Принцип трансфинитной индукции состоит в том, что если верно Р (1) и из справедливости для следует справедливость Р (а), то Р (а) верно для всех а. Этот принцип можно доказать как теорему в рамках аксиоматической теории Применение его требует предварительного полного упорядочения мн-ва объектов, для которых доказывается предложение, что приводит к их трансфинитной нумерации; такое упорядочение возможно в силу аксиомы выбора Цермело. С помощью трансфинитной индукции доказывается ряд важных теорем математики, напр., теорема Хана—Банаха в функциональном анализе. Важным является также построение различных матем. объектов с помощью трансфинитной индукции. Применение трансфинитной индукции часто заменяется подходом, основанным на теореме Цорна. Пусть М — Ч. у. м., X; если и для всех , то у наз. мажорантой X. Если всякое линейно упорядоченное подмножество имеет мажоранту, М наз. индуктивным. Теорема Цорна о том, что всякое индуктивное упорядоченное мн-во обладает по крайней мере одним максимальным элементом, широко применяется в алгебре, функциональном анализе и др. областях математики. Наглядное представление об этой теореме дает упорядочение подмножеств данного мн-ва «по вложению» означает .

Доказательства с помощью теоремы Цорна состоят в том, что ищется макс. подмножество данного мн-ва М, обладающее некоторым свойством, а затем доказывается, что предположение приводит к противоречию; отсюда заключают, что требуемым свойством обладает все мн-во М.

Лит.: Alexandroff P. Diskrete Raume. «Математический сборник», 1937, т. 2, в. 3; Канторович Л. В., Вулих Б. 3., Пинскер А. Г. Функциональный анализ в полуупорядоченных пространствах. М.- Л., 1950 [библиогр. с. 543—546]; Курош А. Г. Лекции по общей алгебре. М., 1962 [библиогр. с. 383—387]; Скорняков Л. А. Элементы теории структур. М., 1970 [библиогр. с. 145]; Риге Ж. Бинарные отношения, замыкания, соответствия Галуа. В кн.; Кибернетический сборник, в. 7. М., 1963; Бурбаки Н. Начала математики, ч. 1. Основные структуры анализа, кн. 2. Теория множеств. Пер. с франц. М., 1965. А. В. Гладкий.