§ 9. Симметрические многочлены

Пусть А — коммутативное кольцо и — алгебраически независимые элементы над А. Пусть X — переменная над Образуем многочлен

где каждый элемент является многочленом от Например,

Многочлены называются элементарными симметрическими многочленами от .

Мы предоставляем читателю в качестве упражнения проверку того, что — однородный многочлен степени от

Пусть — некоторая перестановка целых чисел Для данного многочлена определим формулой

Если — две перестановки, то и, следовательно, симметрическая группа G на символах действует на кольце многочленов Многочлен называется симметрическим, если для всех . Ясно, что множество симметрических многочленов есть подкольцо в содержащее постоянные многочлены (т. е. само А), а также элементарные симметрические многочлены

Ниже мы увидим, что оно по существу ничего больше и не содержит.

Пусть — переменные. Будем считать весом одночлена

целое число . Определим вес многочлена как максимум весов одночленов, встречающихся в

Теорема 11. Пусть — симметрический многочлен степени . Тогда существует многочлен веса d, такой, что

Доказательство. Индукция по . Если , то теорема очевидна, так как .

Предположим, что теорема доказана для многочленов от переменной.

Если мы подставим в выражение для F (А), то получим

где - выражение, полученное подстановкой Заметим, что — это как раз элементарные симметрические многочлены от

Проведем теперь индукцию по d. Если , то наше утверждение тривиально. Предположим, что и что наше утверждение доказано для многочленов степени Пусть имеет . Существует многочлен веса d, такой, что

Отметим, что имеет степень d по

Многочлен

имеет степень и является симметрическим. Имеем

Следовательно, делится на , т. е. содержит множителем. Так как симметрический, то он содержит в качестве множителя Следовательно,

- некоторый многочлен, который должен быть симметрическим и степень которого . По индукции существует многочлен от переменных веса — , для которого

Получаем

причем каждый член справа имеет вес d. Это доказывает нашу теорему.

Покажем теперь, что элементарные симметрические многочлены алгебраически независимы над А.

Если они зависимы, то возьмем не равный 0 многочлен наименьшей степени, для которого

Запишем как многочлен от с коэффициентами в

Тогда Иначе

где некоторый многочлен и, следовательно, Отсюда вытекало бы, что причем имеет степень, меньшую, чем степень

Подставляя вместо в предыдущее тождество, получаем

Это — соотношение в если мы подставим 0 вместо в это соотношение, то все члены, кроме первого, обратятся в 0, что дает

(мы используем те же обозначения, что и в доказательстве теоремы 1). Мы получили нетривиальное соотношение между элементарными симметрическими многочленами от — противоречие.

Пример. Рассмотрим произведение

Мы тотчас видим, что какова бы ни была перестановка о чисел ,

Следовательно, — симметрический многочлен; мы называем его дискриминантом

Таким образом, мы рассматриваем дискриминант как многочлен от элементарных симметрических функций.