§ 9. СВОЙСТВА ОПРЕДЕЛЕННОГО ИНТЕГРАЛА
94. Основные свойства определенного интеграла.
Мы уже говорили, что определенный интеграл
где 
конечный промежуток и 
непрерывная в нем функция, есть предел сумм вида [87]
Этот предел надо понимать следующим образом: при любом заданном положительном 
существует такое положительное число 
что
при любом разбиении и выборе точек из промежутков 
если наибольшая из (положительных) разностей 
Кратко говоря, интеграл (1) есть предел сумм (2) при любом выборе 
и стремлении наибольшей из разностей 
к нулю.
Отметим, что при этом число слагаемых суммы (2) беспредельно возрастает. Строго говоря, определение упомянутого предела (2) надо понимать так, как это указано выше (с помощью 
).
В конце главы мы докажем существование упомянутого предела сумм (2) для непрерывных функций и некоторых классов разрывных функций. В дальнейшем, если не оговорено особо, мы будем считать подынтегральную функцию непрерывной на промежутке интегрирования.
Мы предполагали, что нижний предел а интеграла меньше верхнего предела b. Если 
то из толкования интеграла как площади следует, что естественно считать
Это равенство является определением интеграла для того случая, когда верхний предел равен нижнему.
При 
принимается следующее определение:
В интеграле, стоящем в правой части, нижний предел b меньше верхнего а и интеграл понимается обычным образом, как указано выше. Если бы мы для интеграла, стоящего слева, построили сумму (2), то для нее 
мы получим
и все разности 
отрицательны. Если мы перейдем к интегралу, стоящему в правой части равенства (4), т. е. будем считать а верхним пределом и b нижним, то промежуточные точки 
надо будет считать в обратном порядке, и в сумме (2) все разности переменят знак. Эти соображения делают естественным определение (4) в том случае, когда 
Отметим еще очевидное равенство 
Действительно, раз подынтегральная функция при всех 
равна единице, то 
Но сумма, стоящая в квадратны скобках, равна постоянной (b — а).
Переходим к перечислению и доказательству свойств определенного интеграла. Первые два из них суть определения, выраженные равенствами (3) и (4).
I. Определенный интеграл с одинаковыми верхним и нижним пределами считается равным нулю.
II. При перестановке между собой верхнего и нижнего пределов определенный интеграл, сохраняя абсолютное значение, меняет лишь знак:
III. Величина определенного интеграла не зависит от обозначения переменной интегрирования:
Это уже было выяснено в [87].
IV Если дан ряд чисел
расположенных в каком угодно порядке, то
Эту формулу достаточно установить для случая трех чисел а, 
после чего нетрудно распространить доказательство на какое угодно число слагаемых.
Допустим сперва, что 
Из определения вытекает, что
причем предел этот будет один и тот же, каким бы мы способом ни разбивали на части промежуток 
, лишь бы только наибольшая из разностей 
стремилась к нулю. Мы можем условиться разбивать промежуток 
так, чтобы точка 
лежащая между а и с, каждый раз оказывалась одной из точек деления. Но тогда сумма
разобьется на две такого же типа, с той лишь разницею, что при составлении одной мы будем разбивать на части промежуток 
при составлении же другой — промежуток 
, и притом так, что в обоих случаях наибольшая из разностей 
стремится к нулю. Каждая из этих сумм будет стремиться соответственно к
и мы получим, фиксируя последовательность разбиений и числа 
что и требовалось доказать.
Пусть теперь b лежит вне промежутка 
, например 
По доказанному сейчас мы можем написать
откуда
Но в силу свойства II имеем
т. e. опять
Аналогичным путем можно рассмотреть и все остальные возможные случаи взаимного расположения точек.
V. Постоянный множитель можно выносить из-под знака определенного интеграла, т. е.
ибо
VI. Определенный интеграл от алгебраической суммы равен алгебраической сумме определенных интегралов от каждого слагаемого, ибо, например,
