§ 9. Общее определение миноров матрицы. Теорема Лапласа

Возьмем в данной матрице из за строк и столбцов какие-нибудь строк, положим , и q столбцов, положим Элементы, лежащие на пересечениях выделенных строк и столбцов, образуют матрицу, состоящую из строк и q столбцов. Всякая матрица, таким образом полученная, называется матрицей, содержащейся в первоначальной матрице А, или частью матрицы А. Например, частью матрицы

является матрица

Любая квадратная матрица, содержащаяся в данной матрице, называется минором данной матрицы. Если минор порядка образован элементами, лежащими в первых строках и первых столбцах матрицы А, то он называется угловым минором порядка матрицы А; так, например, матрица

есть угловой минор третьего порядка матрицы (1).

Предположим, что исходная матрица А квадратная и имеет порядок . Берем какой-нибудь лежащий в ней минор порядка, . Этот минор, обозначим его через P, лежит в каких-то строках и столбцах матрицы А. Остальные строк и столбцов матрицы А определяют однозначно минор порядка Q, называемый минором, дополнительным к данному минору P; свойство дополнительности двух миноров, очевидно, взаимное.

Ниже схематически изображены два взаимно дополнительных минора P и Q соответственно четвертого и второго порядка в матрице А шестого порядка:

Назовем адъюнктой минора P, лежащего в строках с номерами и столбцах с номерами , детерминант дополнительного минора Q, умноженный на число

называемое указателем минора P.

Для краткости будем часто полагать

Если возьмем какую-нибудь молнию М из P и объединим ее с какой-нибудь молнией М" из Q, то получим вполне определенную молнию матрицы А.

Например, объединение молнии

минора P с молнией

минора Q есть молния

матрицы А. Следовательно, произведение зарядов молний (2) и (3) есть заряд молнии (4), умноженный, как мы сейчас докажем, на , т. е. на указатель минора P.

Докажем наше утверждение сначала в предположении, что P есть угловой минор:

Всякая молния минора P имеет вид

всякая молния минора Q имеет вид

Знак молнии М есть знак перестановки

знак молнии есть знак перестановки

Две молнии объединяются в молнию

знак которой есть знак перестановки

Так как при всегда всякая инверсия перестановки (7) содержится или в (5), или в (6).

Поэтому число инверсий в (7) равно сумме числа инверсий и (6) и знак перестановки (7) есть произведение знаков перестановок (5) и (6), значит, и заряд молнии М есть произведение зарядок . В то же время указатель углового минорг P есть — утверждение доказано.

Пусть теперь P — произвольный минор матрицы А, лежащий в строках и столбцах этой матрицы, номера которых суть соответственно . Переставляем строку матрицы последовательно с , пока ока после транспозиций не займет наконец места. Потом переставляем строку с . до тех пор, пока она после транспозиций не займет места. Продолжая эти перестановки, мы наконец поместим после транспозиций строку на место.

В результате после

транспозиций строк матрицы А достигнем того, что строки этой матрицы займут соответственно 1-е, 2-е,...,p-е место, а взаимный порядок остальных строк останется тем же, что и до этих перестановок.

Теперь возьмемся за столбцы и, поступая с ними так же, как только что , достигнем того, что после

транспозиций столбцы, имевшие в матрице А номера , станут соответственно на 1-е, 2-е, . место. В результате всех этих перестановок матрица А превратится в некоторую матрицу А, состоящую из тех же элементов и имеющую те же молнии, что и матрица А, но расположенных уже по-другому — так, что минор P матрицы А станет угловым минором порядка матрицы А, а дополнительным к нему минором в матрице А будет по-прежнему минор .

Произведение зарядов произвольной молнии М минора Р и произвольной молнии М" минора Q равно заряду молнии в матрице А. Так как матрица А произошла из матрицы А в результате транспозиций, то заряд какой-либо молнии М в матрице А отличается от заряда той же молнии в матрице А множителем . Поэтому произведение зарядов молний М и М" (соответственно в P и в Q) равно произведению на заряд молнии в А.

Какова бы ни была молния М матрицы А, содержащая произвольную, но фиксированную молнию М минора P, совокупность остальных элементов молнии М, т. е. элементов, не входящих в P, образует некоторую (однозначно) определенную молнию М" минора Q, и мы имеем

Пусть М пробегает все молнии матрицы А, содержащие какую бы то ни было молнию М минора P. Каждая такая молния (однозначно) представима в виде

Тогда не только М в формуле (11) пробегает все молнии минора P, по и М" пробегает все молнии минора Q; это вытекает из того, что, какую бы молнию М из матрицы А, содержащую молнию М минора P, мы ни взяли, она однозначно дополняется молнией из минора Q. При этом каждый раз имеет место формула (10). Поэтому, если мы просуммируем равенства (10) по всем молниям, содержащим молнии из P, то в правой части равенства мы получим , помноженную на сумму зарядов всех молний М из P и на сумму зарядов всех молний М" из .

Другими словами:

Пусть теперь в матрице А фиксированы строки, имеющие номера . Через P будем обозначать всевозможные миноры порядка, лежащие в этих строках, через - дополнительные к P миноры.

Для каждой молнии М матрицы А существует единственный такой минор P (лежащий в заданных строках), что М содержит молнию М этого минора. В самом деле, если лежащие в заданных строках элементы молнии М суть , то минор P есть минор, лежащий в строках и столбцах. Поэтому каждая молния М матрицы А единственным образом представима в виде (11), и если мы просуммируем равенства (12) по всем минорам P (лежащим в строках с номерами то слева мы получим сумму всех зарядов матрицы А, а справа — сумму произведений , взятую по всем названным P. Итак, нами доказана следующая знаменитая в теории детерминантов

Теорема 7 (теорема Лапласа). Пусть в матрице А произвольно выбраны строк. Тогда детерминант матрицы А есть сумма произведений детерминантов миноров P порядка , лежащих в выбранных строках, на адъюнкты этих миноров.