ПРЕДИСЛОВИЕ РЕДАКТОРА ПЕРЕВОДА

Вниманию советского читателя предлагается книга известного американского математика С. Бергмана. Ее предметом является важная область математики — теория линейных уравнений эллиптического типа. Среди имеющихся книг, посвященных этой теме, монография С. Бергмана выделяется рядом отличительных признаков.

Основной круг вопросов, на котором сосредоточено главное внимание, можно было бы назвать общей или "качественной теорией уравнений с частными производными эллиптического типа. Сюда относится в первую очередь проблема построения "общего решения исследуемых уравнений, выявление и исследование тех элементов, при изменении которых исчерпывается весь запас решений из того или иного класса. Вслед за этим возникает необходимость исследования теоретико-функциональных свойств решений: гладкости и аналитичности решений, отыскание "естественной" области существования решений в зависимости от свойств коэффициентов уравнения, классификация и изучение особых точек решений, представление решений в виде рядов или аппроксимация их конечными агрегатами при помощи некоторых систем решений частного вида и др. И, наконец, в тех случаях, когда некоторые из отмеченных вопросов в той или иной степени изучены, как, например, для уравнения Лапласа в трехмерном пространстве, возникает потребность в построении некоторых классов решений, обладающих рядом интересных свойств: наличие сингулярностей того или иного типа, многозначность в целом и др.

Постановка и исследование отмеченных проблем в значительной степени связаны с работами самого автора и ряда его последователей. Начатые несколько десятилетий тому назад и продолжающиеся до настоящего времени эти исследования, и составили основное содержание монографии. Количество важных результатов в этой области весьма велико, и подробное их изложение нельзя было уместить в рамках небольшой по объему книги. Вследствие этого доказательства ряда теорем опущены, с указанием, однако, тех источников, где имеется их полное изложение.

Степень полноты результатов, приведенных в книге, весьма различна для разных типов уравнений. Естественно, что наиболее полное исследование допускают эллиптические уравнения с двумя независимыми переменными. Наличие глубоко разработанной теории аналитических функций комплексного переменного дало возможность создать почти исчерпывающую теорию в указанном выше плане для общих эллиптических уравнений второго порядка с аналитическими коэффициентами на плоскости. Метод интегральных операторов, отображающих аналитические функции одного комплексного переменного в решения исследуемых уравнений, позволяет вначале обнаружить, а затем и фактически доказать ряд фундаментальных свойств решений общих эллиптических уравнений на плоскости, родственных свойствам аналитических функций (главы .

Замечательно, что и для трехмерного уравнения Лапласа может быть построен интегральный оператор с аналогичным свойством. Именно, как было обнаружено Э. Т. Уиттекером в начале нашего века, каждая гармоническая функция с тремя аргументами, регулярная в окрестности некоторой точки, может быть представлена в виде определенного интеграла от функции ( аналитической по комплексному переменному и, взятого по в пределах

Во второй главе настоящей книги построен интегральный оператор с аналогичными свойствами, но определенный на множестве аналитических функций двух комплексных переменных. Оба этих оператора, а также оператор типа потенциала Ньютона, применяются во второй и четвертой главах к изучению ряда важных классов гармонических функций и так называемых гармонических векторов в трехмерном пространстве. Тогда, когда функция ( является рациональной или, в более общем

случае, алгебраической функцией относительно первого аргумента а, соответствующая ей гармоническая функция определена во всем трехмерном пространстве, но является многозначной. Уже простейшие примеры функций порождают интересные особенности у соответствующих гармонических функций (§ 3, гл. II или § 1, гл. IV). С точки зрения дальнейшего развития эти результаты представляются, по-видимому, наиболее перспективными.

Третья глава книги посвящена обобщению результатов двух первых глав, на случай некоторых эллиптических или параболических уравнений в трехмерном пространстве.

Важной особенностью книги является также большое внимание, которое уделяется уравнениям частного вида. Общая теория в применении к этим уравнениям становится более прозрачной и глубоко разработанной, ибо здесь появляется возможность применения аналитической теории обыкновенных дифференциальных уравнений. Особый интерес в этом отношении представляют результаты последней главы, посвященной вырождающимся на оси уравнениям (уравнениям "смешанного" типа), встречающимся в ряде важных приложений (гидро- и аэродинамика и др.).

Книга написана ясным и доступным языком и не предполагает у читателя знакомство с какими-либо специальными разделами математики. Пожалуй, единственным исключением в этом смысле является теория функций комплексного переменного. Для полного усвоения некоторых разделов книги требуется знакомство с теорией алгебраических функций.

Подход к построению интегральных операторов, который предлагается в книге, не является, — эта мысль неоднократно подчеркивается и автором — единственно возможным. В изучении важнейшего аспекта теории — граничных задач — эти операторы не нашли еще применения и являются, по-видимому, плохо приспособленными к этому кругу вопросов. Создается также впечатление, что вид этих операторов (в случае уравнений с двумя аргументами) является следствием искусства и опытности автора, а не результатом реализации какой-либо простой и общей идеи.

Параллельно с исследованиями автора изучение затронутого круга вопросов весьма интенсивно велось и в Советском Союзе. Как изучение общей части теории, так и исследование граничных задач методами, восходящими к классической теории

функций комплексного переменного, были в центре внимания ряда важных исследований И. Н. Векуа. Полное изложение созданной теории содержится в двух известных монографиях И. Н. Векуа.

Можно надеяться, что выход в свет русского издания книги С. Бергмана будет способствовать дальнейшему развитию теории уравнений с частными производными.

И. И. ДАНИЛЮК

Новосибирск,

3 апреля 1964 г.

ПРЕДИСЛОВИЕ

В этой книге строятся решения линейных дифференциальных уравнений в частных производных с помощью интегральных операторов, которые преобразуют аналитические функции комплексного, переменного в решения рассматриваемых уравнений. Теория аналитических функций — весьма развитая отрасль анализа, и операторный метод делает возможным ее использование для изучения дифференциальных уравнений. В то время как изучение существования и единственности решений уравнений с частными производными продвинулось довольно далеко, исследованию теоретико-функциональных свойств регулярных и сингулярных решений и построению их в явном виде с использованием единого общего процесса уделялось значительно меньшее внимание. Настоящая книга является попыткой заполнить пробел в этом направлении.

Интегральные операторы различных типов давно уже используются в математической литературе. В этой связи достаточно упомянуть Эйлера и Лапласа. Автор не пытался дать полный перечень всех известных операторов, а имел в виду развитие унифицированного подхода. С этой целью используются специальные операторы, сохраняющие различные теоретико-функциональные свойства аналитических функций, например, сохраняющие области регулярности, разложения в ряды, связь между коэффициентами этих разложений и размещением и характером особенностей и т. д. Однако были приложены все усилия, чтобы дать полную библиографию и помочь читателю найти более подробное изложение затронутых вопросов. В некоторых местах доказательства утверждений опущены, в особенности тогда, когда переход от изложения в этой книге к оригинальной статье не представляет трудности.

Интегральные операторы могут также применяться к функциям нескольких комплексных переменных. Можно ожидать, что дальнейшее развитие в этом направлении приведет к соответствующим результатам в теории систем линейных дифференциальных уравнений с частными производными.

С. БЕРГМАН

Станфорд, Калифорния, октябрь 1960