Глава V. УРАВНЕНИЯ СМЕШАННОГО ТИПА И ЭЛЛИПТИЧЕСКИЕ УРАВНЕНИЯ С СИНГУЛЯРНЫМИ И НЕАНАЛИТИЧЕСКИМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ

§ 1. Введение. Упрощенный случай уравнения смешанного типа

В главе I рассматривались дифференциальные уравнения с двумя переменными в случае, когда коэффициенты целые функции от Некоторые из полученных там результатов можно обобщить на случай, когда имеют особенности. Однако многие результаты, относящиеся к интегральным операторам первого рода, не применимы в этом случае.

Уравнения смешанного типа, т. е. уравнения, эллиптические в одной части плоскости и гиперболические в дополнительной части плоскости, можно в некоторых случаях преобразовать в уравнения вида (1.1.6) (см. стр. 26) с сингулярными коэффициентами. Некоторые классы таких уравнений смешанного типа изучены в последнее время, в особенности те из них, которые имеют приложения в механике и физике.

В связи с теорией течений сжимаемой жидкости изучен весьма специальный класс таких уравнений, а именно:

где при и при . В этих исследованиях получены интегральные операторы, преобразующие функции одного переменного в решения уравнения (1).

Преобразованием

уравнение (1) приводится к виду

Предположим, что

а) аналитическая функция для — действительная при

б) в окрестности точки функция имеет разложение

в) интеграл существует для всех Преобразование (2) действительно только при При величина X становится чисто мнимой. Полагая

и вводя в качестве независимых переменных у и действительную величину запишем уравнение (3) в виде

где элементарным образом связано с

Замечание. При рассмотрении уравнения (3) можно аналитически продолжить решение на комплексные значения X, полагая и формально используя интегральные операторы, введенные ранее в эллиптическом случае. Возникающая здесь трудность связана с тем, что обращается в бесконечность при

При рассмотрении уравнения (3) (для можно построить решения, используя интегральные операторы либо первого рода, либо экспоненциального типа. Однако полученные таким путем решения имеют смысл только в части полуплоскости Поэтому интересно рассмотреть новый тип интегральных операторов, что будет сделано в настоящей главе.

Введем небольшое упрощение и вместо рассмотрим функцию

Тогда должна удовлетворять уравнению

Простым вычислением находим, что F допускает в окрестности точки разложение вида

Интересно заметить, что

независимо от значений коэффициентов разложения для данного в формуле (1).

Сначала построим интегральный оператор для уравнения (6) в частном случае, когда F сводится к единственному члену, а именно

где назовем этот случай упрощенным (случаем Трикоми). Непосредственное вычисление показывает, что порождающая функция должна удовлетворять уравнению в частных производных [см. (1.2.8) стр. 31]

Теперь, если предположить, что решение уравнения (8) имеет вид где

то мы найдем, что (8) сводится к обыкновенному дифференциальному уравнению

Но это есть гипергеометрическое дифференциальное уравнение с параметрами, обычно обозначаемыми через а, (3, у и равными

Следовательно, общее решение уравнения (10) дается формулой

где произвольные постоянные.

Таким образом, функциям (11а) и (116) соответствует пара интегральных представлений решений уравнения (6), получаемая при подстановке (11а) или (116) в равенство

где и определяется формулой (9).