§ 4. Порождающие функции, аналогичные решениям гипергеометрического уравнения

В § 1 указывалось, что уравнение в частных производных (1.8) для порождающей функции дающей решения уравнения (1.6), сводится в упрощенном случае

при помощи подходящей замены переменных к обыкновенному (гипергеометрическому) дифференциальному уравнению (1.10). Таким путем было показано, что фигурирующие в (1.11а), (1.116) четыре функции составляют порождающие функции в упрощенном случае, а затем в § 2, 3 были построены порождающие функции, аналогичные этим четырем функциям, для широкого класса функций Однако хорошо известно, что общее решение гипергеометрического уравнения (1.10) может быть записано не только в виде (1.11а) и (1.116), но и многими другими способами. Вместо того чтобы выражать решение через гипергеометрические функции от как это сделано в упомянутых двух формулах, можно использовать гипергеометрические функции от любой из величин

Конечно, если вычислить значения этих функций, используя данный в § 1 степенной ряд, определяющий гипергеометрическую функцию , то различные

представления порождающей функции будут иметь различные области определения. Совершенно естественно выяснить, можно ли, кроме разложений, полученных в § 2, 3, найти разложения порождающей функции в общем случае когда необязательно которые дают решения уравнения (1.6) в различных областях плоскости . В настоящем параграфе мы очень кратко обсудим эту проблему и ограничимся отысканием порождающих функций, аналогичных гипергеометрическим функциям от

Вводим, как в предыдущих параграфах, величины

Находим, что порождающая функция соответствующая уравнению (1.6), должна как функция от удовлетворять уравнению

Чтобы преобразовать уравнение (2), введем переменное в разложение (2.2) для Так как коэффициенты удовлетворяют уравнениям (2.3а) и (2.36) и

то является решением уравнения

С другой стороны, если дважды дифференцируемая функция удовлетворяет уравнению то

удовлетворяет уравнению (1.8). Здесь константа. Имеем

Здесь обозначает левую часть равенства (1.8). Сделаем теперь преобразования

Тогда

Следовательно, (2) принимает форму

Далее, используя переменные

получаем

Преобразование (9) не изменяет первого члена в фигурных скобках в формуле (8). Второй член в (8) становится равным

Относительно

Полагая

находим, что удовлетворяет уравнению

Теперь введем переменное

Легко видеть, что как функция от удовлетворяет тому же самому уравнению (14), где а заменено на Таким образом, принимая во внимание соотношение (13) между и используя порождающие функции, полученные в двух предыдущих параграфах, мы получаем четыре новых разложения, а именно:

Возвращаясь к исходным переменным и к функции вместо мы получаем для разложение

а для разложение

Сопоставляя результаты этого параграфа с результатами двух предыдущих, мы видим, что существует широкий класс порождающих функций, которые можно применить для получения решений уравнения (1.6) в различных частях плоскости