§ 7. Дифференциальное уравнение ... с новым типом особенности функции N

В § 9, гл. I рассматривалось уравнение

в котором была целой функцией; Эйхлер рассматривает также случай, когда имеет особенности, а именно:

где действительная постоянная (см. [234]). В этой статье дается ряд интересных примеров, когда порождающая функция (см. (1.9.5), стр. 61) может быть выражена через гипергеометрическую функцию F

или ряд таких функций, а именно:

Здесь связаны рекуррентной формулой

3. , соответственно

Если заменить на то уравнение (1) примет вид

Далее,

— порождающая функция для уравнения (7); здесь удовлетворяет гипергеометрическому уравнению

и начальному условию

Когда имеет особенности, известный интерес представляет изучение нисходящих рядов [см. (1.9.9)]. Так как коэффициенты ряда (1.9.9) удовлетворяют обыкновенному линейному дифференциальному уравнению второго порядка, каждое решение уравнения (1) можно представить в виде

При исследовании уравнения (1) с коэффициентом (2) в [234] получен следующий результат.

Теорема 7.1. Существуют две последовательности для нисходящего ряда (1.9.9), такие, что

Нисходящий ряд (10), образованный для сходится в достаточно малой окрестности точки при

где ближайшая к началу координат особенность функции

Из теоремы 7.1 ясно, как ведет себя вблизи решение уравнения (1), представленное нисходящим рядом с регулярной функцией Но нисходящий ряд можно образовать даже с функцией сингулярной в точке на оси Согласно теореме 7.1, ряд сходится по крайней мере в некоторой части окрестности особой точки, тогда как представление такой функции восходящим рядом не имеет места. Таким путем доказывается, что решения уравнения (1), кроме тех особенностей, которые автоматически получаются из особенностей могут иметь еще другие особенности. Подробности см. в [234]. Далее, в [234] рассматривается дифференциальное уравнение

и получается обобщение представления (III. 2.10), а именно:

Здесь — гармоническая функция, решение обыкновенного дифференциального уравнения, см. формулы (51) и (52) в [234].

Пусть

предположим, что функция регулярна в достаточно большом шаре с центром в начале координат, и пусть гармоническая функция, регулярная в области причем ряд равномерно и абсолютно сходится для Тогда

является решением уравнения (13). Ряд (16) сходится равномерно и абсолютно при и аналитически продолжается в область которая определяется с помощью и .