Глава II. ГАРМОНИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ ТРЕХ ПЕРЕМЕННЫХ

§ 1. Предварительные сведения

Как указывалось во введении, метод интегральных операторов является одним из инструментов который можно использовать для распространения методов теории функций одного или нескольких комплексных переменных на другие области, в частности на теорию гармонических функций трех переменных. Совокупность таких функций представляет собой линейное пространство, но они не образуют алгебру и не обладают групповыми свойствами. Однако, поставив во взаимно однозначное соответствие каждой гармонической функции трех переменных некоторую функцию одного или нескольких комплексных переменных: мы можем определить композицию для формулой

где

С другой стороны, соотношение (1) является сначала чисто формальным, так как функция зависит от выбора принципа соответствия, т. е. от выбора можно определить бесконечно многими различными способами. Одной из главных проблем в теории интегральных операторов является изучение операторов, преобразующих функции одного или нескольких комплексных переменных в решения некоторого линейного уравнения в частных производных, и выбор среди таких операторов тех, которые сохраняют основные свойства функций, к которым они применяются. Таким образом, мы получаем операторы, которые можно рассматривать как более или менее естественное обобщение операции взятия действительной части.

Пытаясь обобщить методы интегральных операторов на дифференциальные уравнения с тремя переменными, мы считаем полезным различать две проблемы.

(а) Применяя операторы к аналитическим функциям одного или нескольких комплексных переменных, мы изучаем гармонические функции и гармонические векторы, т. е. векторы которые удовлетворяют паре уравнений

(б) Аналогично тому, как это делается для двух переменных, мы рассматриваем операторы, переводящие гармонические функции трех переменных в решения более общих линейных уравнений в частных производных.

В настоящей главе и в гл. IV мы исследуем проблему (а); проблема (б) рассматривается в гл. III.