§ 4. Второй интегральный оператор, порождающий решения уравнения ...

В этом параграфе мы определим интегральный оператор, отличный от рассмотренного в предыдущем параграфе, который также порождает решения уравнения (0.1.86). Подробно двойства этого оператора приведены в [38], куда мы отсылаем читателя за доказательствами сформулированных здесь утверждений.

Введем, как и ранее, переменные

и выразим функцию из формулы (0.1.86) через мы также используем символ F для этой новой функции. Уравнение (0.1.86) тогда примет вид

Найдем частные решения уравнения (1), являющиеся полиномами от X, следующим образом. Пусть любое решение уравнения

Определим полиномы так

Пусть функции удовлетворяют уравнениям

Тогда непосредственным вычислением находим, что функции

(где, как и прежде, являются (комплексными) решениями уравнения (0.1.86). Следует заметить, что представление (5) служит естественным обобщением представления для гармонических функций, заданного равенством (II. 3.2).

Существует много способов получения функций и удовлетворяющих уравнениям (2) и (4). Легко может быть получен некоторый частный класс решений. Частное решение уравнения (2), которое мы обозначим через определяется формулой

Что касается уравнений (4а), (46), то их частные решения можно получить, если заметить, что оба эти уравнения имеют вид

для простоты обозначений индексы функций и 7 опущены. За исключением члена имеет тот же вид, что и (2), и решение уравнения (7) легко может быть

построено по аналогии с формулой (6)

Легко показать, что решения определенные формулой (5), обладают следующим свойством:

Рёшения (б) можно обобщить следующей образом. Пусть функция аналитична в точке и пусть система операторов

удовлетворяет уравнениям

(см. скан)

Тогда оператор (для любого целого 0), определяемый равенством

удовлетворяет уравнению (0.1.86).

Интегральный оператор (11) позволяет в некоторых случаях определить расположение и характер особенностей решения уравнения (1), зная подпоследовательность коэффициентов ряда

для этого решения (см. [38]). Этот результат обобщен на случай подпоследовательности где фиксировано, см. [125].

Наконец, следует упомянуть о тесной связи операторов,рассмотренных в этом и предыдущем параграфах. Можно показать, что

если