10. Дифференциальные уравнения высшего порядка

Методы, описанные в предыдущих параграфах этой главы, применялись к дифференциальным уравнениям второго порядка, но их можно обобщить и сделать применимыми к некоторым классам уравнений высшего (четного) порядка. В этом параграфе мы коротко опишем некоторый класс уравнений четвертого порядка. На этом довольно частном примере можно видеть, как обобщаются ранее использованные методы. Более подробное изложение см. в [21].

Рассмотрим уравнение вида

где целые функции комплексных переменных Если перейти к переменным

(которые действительны, если z заменить переменным z, сопряженным к то это уравнение примет вид

где коэффициенты просто связаны с коэффициентами уравнения (1). Если рассматривать как действительные, переменные, то уравнение (2) превратится в общем случае в систему двух действительных уравнений для действительной и мнимой частей функции Простое вычисление показывает, что (2) дает одно уравнение (отдельно для действительной и мнимой частей), если коэффициенты уравнения (1) удовлетворяют условиям действительны.

Теорема 10.1. Существуют четыре функции определенные для достаточно малых значений аргументов, скажем а для обладающие следующим свойством: если являются аналитическими функциями от С. определенными и регулярными в окрестности начала координат, то

есть решение уравнения (1). Обратно, решение уравнения (1), определенное в окрестности начала координат можно представить в виде (3) при помощи подходящих функций Для функций введенных выше, выполняются следующие равенства:

Каждая из четырех функций удовлетворяет следующему уравнению с частными производными:

где оператор, определяемый формулой (1).

Доказательство теоремы проводится в основном тем же способом, что и в случае уравнений второго порядка; подробности можно найти в работе [21]. С помощью оператора (3), который является обобщением оператора (2.4), можно получить представления решений уравнения (1), аналогичные представлениям (3.4а) и (3.46); можно также получить (см. [21, стр. 627]) представление, аналогичное (4.5). Используя эти представления, можно обобщить рассуждения, проведенные в § 6. В частности, можно доказать существование решений

уравнения (1), обладающих следующим свойством:

где четыре степенных ряда являются элементами заданных функций, регулярных в начале координат (см. [21, стр. 625]). Можно также найти связь между расположением и характером особенностей решений (1) и коэффициентами разложения (7); поразительным результатом этого исследования является тот факт, что характер и расположение особенностей мало зависят от коэффициентов уравнения (1). В некоторых случаях известны выраженные в терминах определенных подпоследовательностей коэффициентов достаточные условия того, что решение уравнения (1), которое существует в круге непрерывно или имеет скачок на границе [161].

Обобщая рассуждения, проведенные в § 6 (стр. 42 и далее), можно рассматривать проблемы коэффициентов для решений уравнения (1) (см. [21, 122]) следующим образом. Представление (7) можно записать в виде

Подставляя (9) в уравнение (1), мы получаем бесконечную систему обыкновенных линейных дифференциальных уравнений относительно функций и их производных. Эта процедура аналогична описанной в § 6 для уравнений с частными производными второго порядка. Однако в этом случае появляются некоторые существенные трудности. Эти обыкновенные уравнения являются уравнениями второго порядка, а функции зависят как от так и от Тем не менее из этой системы можно извлечь соотношения между с одной стороны, и с другой стороны. Очевидно, что эти соотношения эквивалентны соотношениям между подпоследовательностью где 2 фиксировано, и подпоследовательностями коэффициентов ряда (7). Это приводит к определению области регулярности, расположения и характера особенностей и других основных свойств решений Подробности и исследование исключительных случаев, которые могут возникнуть, содержатся в работе [121].

Эти рассуждения можно обобщить на случай уравнений с частными производными более высокого порядка. [8, 10, 12 - 16, 19 - 22, 32, 34, 35, 41, 51, 53, 60, 61, 70 - 79, 92, 96 - 102, 105, 115, 118 - 124, 140, 142, 144 - 149, 155 - 157, 161, 170 - 173, 179 - 189, 198, 203, 218 - 220, 226, 233, 234, 237 - 239]