§ 3. Интегральный оператор, порождающий решения уравнения

В этом параграфе мы кратко опишем интегральный оператор для уравнений типа (0.1.86). Подробное изучение этого оператора можно найти в статье [39], к которой мы отсылаем читателя за доказательствами и дальнейшими деталями.

Основной является следующая теорема.

Теорема 3.1. Пусть аналитическая функция комплексного переменного регулярная в односвязной области плоскости звездной по отношению к началу координат. Пусть, далее

где решения системы

(см. скан)

и где постоянные удовлетворяют рекуррентным формулам

Тогда операторы порождают решения дифференциального уравнения (0.1.86), регулярные во всех (действительных) точках для которых Эти функции обладают свойством

Функция называется ассоциированной с интегральным оператором .

С определенными формулой (1) операторами тесно связаны операторы порождающие действительные решения уравнения (0.1.86) (т. е. функции, действительные при действительных значениях у, z, иначе говоря, при действительном Определим операторы следующим образом:

Нетрудно видеть, что оператор в самом деле порождает решения уравнения (0.1.86), действительные в указанном выше смысле. Очевидно, для любого конечного множества функций сумма

является действительным решением уравнения (0.1.86).

Интересно, что можно применить операторы для обобщения важной теоремы об особенностях аналитической функции одного комплексного переменного. Теорему, о которой идет речь, можно сформулировать следующим образом. Пусть имеет конечный радиус сходимости Тогда точка на окружности круга сходимости является особой точкой функции тогда и только тогда, когда величины

удовлетворяют условию (см. [60, стр. 36]). Справедливо следующее обобщение этой теоремы.

Теорема 3.2. Пусть действительное решение уравнения (0.1.86) задается формулой (8)

так что разлагается в ряд

а пусть функция фигурирующая в формуле (8), действительна при Пусть, далее, для последовательности имеем

Тогда (прямые) линии являются особыми линиями функции тогда и только тогда,

где связаны с соотношением

различны.

Доказательство этой теоремы основывается на том (подробности см. в [39]), что особенности оператора совпадают с особенностями

и на применении теоретико-функциональной теоремы, цитированной выше.

Изучение особенностей решений уравнения (0.1.86) может быть продвинуто далее. На функции вида (8) Могут быть "перенесены" теоремы Адамара о расположении и характере особенностей аналитической функции в зависимости от коэффициентов ее разложения в ряд. Полюсы функции дают особенности типа полюса для а расположение особеннбстей шщет быть выражено через коэффициенты