§ 8. Интегральный оператор для уравнений с неаналитическими коэффициентами

В этом параграфе мы рассмотрим уравнения вида

Это уравнение исследовалось в гл. I в предположении, что с — целая функция. Результаты, подобные полученным в гл. I, очевидным образом переносятся на случай, когда с регулярна в ограниченной области, и не нуждаются в подробном обсуждении. Случай, когда с аналитична, но имеет некоторые особенности, рассматривался в § 1—4 настоящей главы.

Сделаем теперь общее предположение, что коэффициент с — действительная функция двух действительных переменных, определенная и всего лишь непрерывно дифференцируемая в замкнутой ограниченной односвязной области плоскости х, у.

Введем сначала интегральный оператор, преобразующий аналитические функции комплексного переменного в решения уравнения (1), определенные в

Теорема 8.1. Пусть гармоническая функция в замкнутой ограниченной односвязной области ограниченной регулярной жордановой кривой Если область достаточно мала и непрерывно дифференцируемая функция в то функция

где

являетсярешением уравнения (1) в

Доказательство. Покажем сначала, что ряд (2) и его первые производные по х и у сходятся абсолютно и равномерно в . Пусть круг радиуса с центром в произвольной точке содержащий Продолжим в таким образом, чтобы получающаяся в результате продолжения функция была равномерно ограничена, а непрерывно дифференцируема в . (Такое продолжение с и Н возможно, см. [209].) Тогда существуют такие положительные константы что

Далее, полагая

получаем

и

Пусть Тогда ряд для и для его первых производных по х и у мажорируется рядом

а ряд в правой части сходится. Здесь зависят от выбора точки Если изменяется в , то эти три величины имеют конечные верхние грани. Используя их, мы получим верхнюю грань для и его двух первых производных во всей области . Это доказывает абсолютную и равномерную сходимость ряда (2) и его первых производных по х и у.

Для первой производной существует представление, отличное от полученного почленным дифференцированием правой части равенства (2),

Так как ряд в правой части равенства (2) сходится абсолютно, мы можем записать

где

Далее Если мы положим

то

Интегрирование по частям в правой части формулы (10) дает

Аналогично

Первый член в правой части формулы (12) ведет себя как ньютоновский потенциал с распределением массы вдоль кривой Так как регулярная жорданова кривая, этот интеграл существует в каждой точке Таким образом, существует и имеет непрерывные производные первого и второго порядков в

Используя (12) и аналогичное выражение для применяя хорошо известные рассуждения, убеждаемся в том, что удовлетворяет уравнению (1).

Введем другой класс решений уравнения (1). Пусть — достаточно малая область, звездная по отношению к началу координат, и имеет счетное число особенностей в в точках Обозначим через область, получаемую разрезом вдоль отрезков Пусть — ветвь , определенная в , и пусть

Определение. есть оператор того же вида, что и [см. (2)], если заменить на .

Если существует функция то мы скажем, что

Определение. Пусть — регулярная гармоническая функция в замкнутой подобласти области . Если то соответствующее решение называется -регулярным решением уравнения (1) в

Определение. Функции

называются - степенными решениями уравнения (1) в .

Для решений справедливы многие результаты, аналогичные полученным в гл. I, § 5, 6 в случае,

дифференциальных уравнений с целыми коэффициентами. Приведем несколько примеров.

Пусть решение уравнения (1), -регулярное в замкнутой подобласти области Тогда если достаточно малый круг с центром в начале координат, то решение может быть разложено в ряд по -степенным решениям в Если односвязная область, то можно аппроксимировать в линейной комбинацией -степенных решений

Эти утверждения немедленно следуют из того факта, что аналитическую функцию в круге можно разложить в ряд и из теоремы Рунге.

Определение. Особенность функции где

называется -полюсом порядка нуль.

Пусть решение является -регулярным в круге и представляется там в виде

Тогда имеет -полюс нулевого порядка в замкнутом круге тогда и только тогда, когда существует постоянная такая, что

при всех достаточно больших лежащих на границе

Этот результат немедленно следует из соответствующей теоремы для функций комплексного переменного. В самом деле, если аналитическая функция имеет логарифмический полюс в точке а, и это ее единственная особенность в то ее коэффициенты

удовлетворяют неравенству (16), и обратно (см. [61, т. II, стр. 325]).

Замечание. Если о коэффициенте с в уравнении (1) известно только, что это непрерывная функция, то можно при некоторых дополнительных предположениях получить аналогичные результаты. В этом случае функции являются обобщенными решениями в смысле Соболева (см. [200, стр. 3, 4]). [4, 17, 18, 23, 24, 27, 29, 31, 36, 40—43, 45—51, 56—58, 67, 83, 84, 86. 91, 122, 133, 135, 136, 138, 140, 142—146, 160, 161, 176, 178, 191, 207—209, 212, 213, 215, 216, 218, 219, 225, 227, 228]

ЛИТЕРАТУРА

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)