3. Обобщение предыдущих результатов на случай дифференциального уравнения ...

Изложенное в п. 2 интересно еще и потому, что использованный метод после некоторой модификации может быть применен для получения результатов, относящихся к решениям других дифференциальных уравнений.

Рассмотрим обобщение теоремы 2.1 на случай уравнения

Здесь целые функции от

Лемма 3.1. Для всякого дифференциального уравнения (3.1) существует функция голоморфная при обладающая следующим свойством: если

— гармонический вектор в некоторой области, содержащей начало координат, то

составляют тройку решений уравнения (3.1).

Определение. Тройка решений уравнения (3.1), допускающих представление (3.4) в окрестности начала координат, называется тройкой О-сопряженных решений (сопряженных по отношению к началу координат О).

Теорема 3.1. Пусть функция непрерывна при и пусть

— векторное поле, определенное и регулярное в шаре такое, что

Обозначая через некоторое измеримое подмножество интервала , положим где

и пусть

— гладкая кривая, для которой

Тогда

Доказательство. Имеем

Подинтегральная функция в последнем выражении непрерывна по поэтому мы можем поменять порядок

интегрирования. Получаем

где для любого фиксированного х является жордановой кривой

Так как имеем откуда немедленно следует (3.9).

Следствие. Если - тройка -сопряженных решений уравнения (3.1), регулярных в шаре — гладкая жорданова кривая, лежащая на границе то

Приступим теперь к исследованию интегралов от векторов порожденных гармоническим вектором (с особенностями) (2.60). Пусть Если

то, согласно (2.60), имеем

Вектор имеет две различные однозначные ветви, скажем в области где

Предположим, что ветвь вектора (3.15), регулярная в окрестности начала координат (0, 0, 0). Ветвь имеет особенности вдоль окружности в то время как имеет особенности вдоль этой окружности и оси х. Вектор имеет две различные однозначные ветви в где

Обозначим эти ветви через Предположим, что в окрестности начала координат. Пусть произвольная непрерывная функция, определенная для

Определим вектор равенством

Пусть - гладкая жорданова кривая, лежащая на границе шара где

Далее мы исследуем интегралы

где подинтегральное выражение имеет особенности в

В теореме 2.1 были установлены соотношения между интегралами

от алгебраических гармонических векторов и интегралами от алгебраических аналитических функций. При помощи аналогичных рассуждений мы установим соотношения между интегралами вида (3.19) и интегралами от алгебраических гармонических векторов (3.20). Пусть кривая 3 (лежащая на поверхности шара пересекает [см. (3.16)] в двух различных точках Точки пересечения делят на две дуги Предположим, что и что не касается (т. е. в достаточно малой окрестности точки части лежат по разные стороны от 2). Заметим, что вектор принимает различные значения при подходе к с различных сторон Пусть

Легко видеть, что для фиксированного вектор регулярен в шаре Таким образом,

ибо, согласно следствию на стр. 246, при

Обозначим через соответственно интегралы

Интегралы не зависят от дуг (лежащих на границе Соединяя точки дугой и подходя к этим точкам с одной и той же стороны , мы, очевидно, получаем

так как

где

Следовательно,

Докажем следующую теорему.

Теорема 3.2. Пусть

и пусть Далее, обозначал через точки пересечения с [см (3.16)]. Если

то справедливо равенство

Доказательство. Так как - 1

формула (3.28) будет следовать из (3.25), если мы докажем, что допустима перемена порядка интегрирования в (3.29). Перепишем выражение для подробно:

здесь

для Покажем, что двойной интеграл в (3.30) абсолютно сходится. Отсюда будет следовать возможность перемены порядка интегрирования в (3.30). Подинтегральная функция в обращается в бесконечность только если Последнее имеет место только для Согласно нашим предположениям, замена переменных возможна в достаточно малой окрестности точки . Таким образом, подинтегральная функция в окрестности этих точек имеет вид

где — непрерывная функция от и Следовательно, подинтегральная функция абсолютно интегрируема, что и требовалось доказать.

Но если перемена порядка интегрирования возможна, из (3.14) можно вывести соотношение

где Это делается в предположениях, аналогичных использованным в Отсюда, интегрируя по частям, получаем, что выражается через алгебраические функции и логарифмы от При вычислении интеграла (3.28) мы принимаем во внимание, что только на части линии пересечения. Значение (3.28) зависит только от и точек пересечения