§ 3. Интегралы от гармонических векторов

Аналогично тому, как это делается в классической теории функций, мы исследуем интегралы от гармонических векторов, компоненты которых — алгебраические функции. Обозначим через гармоническое векторное поле с рациональной -ассоциированной функцией Имеем

где

Здесь — подходящая замкнутая кривая в плоскости С, а некоторая окрестность произвольной точки в области регулярности Образуя интегралы, мы можем следующим образом ввести класс функций и класс функционалов.

I. Пусть задает сегмент некоторой спрямляемой кривой с началом и концом Предположим, что 3 лежит в области регулярности Тогда

является гармонической функцией как от так и от Подинтегральное выражение представляет собой полный дифференциал, и, следовательно, не изменяет своего значения, если фиксированы, а непрерывно деформируется в области регулярности В частности, если 3 — замкнутая кривая, то значение этого интеграла равно нулю.

II. Пусть

задает достаточно малую часть 25 некоторой поверхности, ограниченную кривыми

Тогда

есть функционал от кривых (4а). (Функционалы от кривых, построенные таким способом, впервые рассматривались Вольтерра

Введение ассоциированной функции для гармонического вектора приводит к обобщенной теореме о вычетах для некоторых комбинаций гармонических векторов, имеющих особенности.

Здесь мы руководствовались следующей идеей. Пусть гармонический вектор, где целые

функции. Далее, пусть — замкнутая простая гладкая кривая в трехмерном пространстве. Предположим, что функция (рассматриваемая как функция от а) имеет конечное число полюсов первого порядка. Рассмотрим вектор . Мы видим, что в общем случае кривая 3 будет разделена на конечное число частей таких, что при разных дает различные гармонические векторы Так как регулярный гармонический вектор, то

где замкнутая кривая в плоскости и [мы предполагаем, что можно менять порядок интегрирования в последнем члене равенства (6)]. Используя теорему о вычетах, мы можем вычислить внутренний интеграл в (6) и таким путем получить выражение, которое можно рассматривать как обобщенный вычет.

Не формулируя общую теорему, мы рассмотрим частный случай на примере которого становятся ясными детали нашего метода.

Пусть простая замкнутая гладкая кривая, пересекающая плоскость

в конечном числе точек (отличных от скажем, при причем в окрестности любой точки пересечения где а — положительная постоянная. Пусть Тогда

Здесь — длина интервалов тех значений для которых точка

обегает вокруг начала координат раз в положительном направлении, а длина интервалов тех значений для которых эта точка обегает начало координат раз в отрицательном направлении.

Используя формулу (6), мы заключаем, что выражение (7) равно

Покажем, что модуль подинтегрального выражения интегрируем, так что можно менять порядок интегрирования. Для простоты положим Далее, пусть где полярные координаты. Тогда для получим

где Если нижняя грань для то имеем

Таким образом, для достаточно малых (при удобном выборе переменных) интеграл

конечен (подробности см. в [38]).