Главная > Интегральные операторы в теории линейных уравнений с частными производными
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 2. Характеристическое пространство

При рассмотрении гармонических функций трех переменных полезно продолжить аргументы на комплексные значения и исследовать поведение этих функций в характеристическом пространстве

где

Для наших целей удобно использовать координаты

Мы можем теперь переписать уравнение (1) для характеристического пространства в виде

Определение. Мы назовем функцию которая получается при рассмотрении гармонической функ

Так как величина инвариантна при ортогональных преобразованиях, -ассоциированная функция на самом Деле не зависит от выбора системы координат х, у, z.

Интересно ввести новый класс однородных гармонических полиномов степени , а именно:

Здесь биномиальные коэффициенты и означает наибольшее целое число, не превосходящее а.

Например, при мы получаем для , полиномы

Для этих полиномов -ассоциированные функции таковы

где биномиальный коэффициент . Например, для имеем

Функции

связаны следующими дифференциальными уравнениями:

Замечание. Соотношения

определяют действительных гармонических функций степени Используя новые переменные мы получаем теперь другое представление для гармонических функций регулярных в начале координат.

Теорема 2.1. Гармоническая функция регулярная в начале координат О, может быть выражена в окрестности О через свою -ассоциированную функцию в форме

Доказательство. Так как гармоническая функция разлагается в ряд по определенным выше полиномам мы сначала докажем соотношение (12) для этих полиномов. Пусть

Тогда -ассоциированная функция, согласно (8), равна

Подставляя в мы получаем

Теперь подинтегральное выражение в (12) равно

и из (12) получаем

Но

Таким образом, выражение (16) равно

и мы имеем

где X является -ассоциированной функцией с

Итак, представление (12) справедливо для гармонических полиномов. Остается доказать справедливость его для гармонической функции регулярной в окрестности достаточно мало) начала координат О.

Каждая гармоническая функция в может быть представлена в виде

Здесь сферические координаты и шаровые гармонические функции (см. гл. 18]).

В силу ортонормальности функций

(при умножении на (см. [211, ч. II, гл. 15] или [155, стр. 74]) на поверхности шара и в силу предположения, что регулярна в (замкнутом) шаре, справедливо неравенство

где С — максимум модуля на поверхности

(кликните для просмотра скана)

Таким образом, в достаточно малой окрестности начала координат ряд

сходится равномерно и абсолютно и мы можем поменять порядок суммирования и интегрирования в формуле (20).

Итак, (12) доказано и в случае произвольной гармонической функции, заданной формулой (18).

Подробное описание дальнейших свойств гармонических полиномов см. в работах [7, 28, 125]. Композиция гармонических функций трех переменных вводится в [7,38].

1
Оглавление
email@scask.ru