§ 2. Характеристическое пространство

При рассмотрении гармонических функций трех переменных полезно продолжить аргументы на комплексные значения и исследовать поведение этих функций в характеристическом пространстве

где

Для наших целей удобно использовать координаты

Мы можем теперь переписать уравнение (1) для характеристического пространства в виде

Определение. Мы назовем функцию которая получается при рассмотрении гармонической функ

Так как величина инвариантна при ортогональных преобразованиях, -ассоциированная функция на самом Деле не зависит от выбора системы координат х, у, z.

Интересно ввести новый класс однородных гармонических полиномов степени , а именно:

Здесь биномиальные коэффициенты и означает наибольшее целое число, не превосходящее а.

Например, при мы получаем для , полиномы

Для этих полиномов -ассоциированные функции таковы

где биномиальный коэффициент . Например, для имеем

Функции

связаны следующими дифференциальными уравнениями:

Замечание. Соотношения

определяют действительных гармонических функций степени Используя новые переменные мы получаем теперь другое представление для гармонических функций регулярных в начале координат.

Теорема 2.1. Гармоническая функция регулярная в начале координат О, может быть выражена в окрестности О через свою -ассоциированную функцию в форме

Доказательство. Так как гармоническая функция разлагается в ряд по определенным выше полиномам мы сначала докажем соотношение (12) для этих полиномов. Пусть

Тогда -ассоциированная функция, согласно (8), равна

Подставляя в мы получаем

Теперь подинтегральное выражение в (12) равно

и из (12) получаем

Но

Таким образом, выражение (16) равно

и мы имеем

где X является -ассоциированной функцией с

Итак, представление (12) справедливо для гармонических полиномов. Остается доказать справедливость его для гармонической функции регулярной в окрестности достаточно мало) начала координат О.

Каждая гармоническая функция в может быть представлена в виде

Здесь сферические координаты и шаровые гармонические функции (см. гл. 18]).

В силу ортонормальности функций

(при умножении на (см. [211, ч. II, гл. 15] или [155, стр. 74]) на поверхности шара и в силу предположения, что регулярна в (замкнутом) шаре, справедливо неравенство

где С — максимум модуля на поверхности

(кликните для просмотра скана)

Таким образом, в достаточно малой окрестности начала координат ряд

сходится равномерно и абсолютно и мы можем поменять порядок суммирования и интегрирования в формуле (20).

Итак, (12) доказано и в случае произвольной гармонической функции, заданной формулой (18).

Подробное описание дальнейших свойств гармонических полиномов см. в работах [7, 28, 125]. Композиция гармонических функций трех переменных вводится в [7,38].