§ 4. Связь интегралов от алгебраических гармонических векторов трех переменных с интегралами от алгебраических функций одного комплексного переменного

Теория интегралов от алгебраических функций представляет собой важную ветвь теории функций комплексного переменного. Теоремы из этой теории можно интерпретировать также как результаты о гармонических векторах двух переменных. В случае трех переменных естественно рассматривать интегралы где гармонический вектор, компоненты которого — алгебраические функции от

Так как подинтегральные выражения в (3.3) и (3.5) являются полными дифференциалами, интересно изучить их периоды, выполняя интегрирование вдоль замкнутых кривых или поверхностей более высокого рода. Этим проблемам посвящены новейшие исследования Де Рама [93, 94], Ходжа [221], Кодаиры [113], Спенсера [201] и др.

Далее совершенно естественно возникает вопрос, не будут ли комбинации конечного числа интегралов равны в некоторых случаях комбинациям интегралов от алгебраических функций комплексного переменного С, причем так, чтобы между пределами имелись

рациональные соотношения. В дальнейшем мы приведем теорему такого типа. Основное содержание этой теоремы связано с тем фактом, что величина заданная выражением (6) (см. ниже стр. 144), представляет собой сумму различных ветвей интеграла от алгебраического гармонического вектора [см. (10), стр. 145]. Если в (6) изменить порядок интегрирования, то 5 будет равняться сумме различных ветвей интегралов от алгебраической функции комплексного переменного и между пределами X, с одной стороны, и пределами , с другой стороны, будут существовать простые соотношения.

Пусть -ассоциированная функция первой компоненты гармонического вектора [см. (1.4а)] равна

полиномы от . Предположим далее, что 2 — простая замкутая ориентированная кривая в плоскости С, которая не содержит ни начала координат, ни двойных корней уравнения Пусть — замкнутая достаточно гладкая ориентированная кривая в пространстве х, у, z, представленная вектор-функцией

Предположим, что определяется формулой (II. 3.14)]. Согласно результатам, изложенным на стр. 83, пространство х, у, z разбивается поверхностями на конечное число частей (областей ассоциации, см. стр. 83) и в каждой из этих частей

Здесь область в плоскости С ограниченная кривой [см. (II. 3.16)].

Мы предположим, что функция

имеет только конечное число нулей при и в окрестности этих нулей

Рис. IV. 1. Пересечение поверхности с плоскостью

Теорема 4.1. Пусть гармоническое векторное поле с рациональной ассоциированной функцией причем определено на -многообразии имеющем листов (см. гл. II, стр. 82).

Его компонентами являются -значные функции, ветви которых мы обозначим через

Пусть — граничные поверхности областей ассоциации 33 (стр. 84) для представлений (2).

Рис. IV.2. Кривая и поверхность, разделяющая области ассоциации и

Наконец, пусть — простая замкнутая гладкая ориентированная кривая, обладающая описанными выше свойствами. Обозначим часть лежащую в , так что Тогда

Здесь связаны соотношением

обозначает сумму по тем корням уравнения которые лежат внутри , в то время как остальные корни лежат во внешности обозначает кривую в комплексной плоскости и, соответствующую внутренность Величины корни уравнения Под подразумеваем сумму по корням лежащим в области

Доказательство. Как упоминалось выше, левая часть равенства (4) получается вычислением суммы 5 трех интегралов, а именно

и изменением порядка интегрирования. Так как мы можем заменить в формуле на Согласно предыдущим результатам, так как не содержит начала координат и не имеет двойных точек, мы имеем для каждого

Аналогично

Тогда

Как можно показать, изменяя порядок интегрирования в (6) (подробнее см. в [28, 38]), равенство (10) можно переписать следующим образом:

Мы обозначили через дугу кривой с концами и (здесь ). В (10) и (11) пределы связаны соотношением (5).