О ПРОБЛЕМЕ КОЭФФИЦИЕНТОВ В ТЕОРИИ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ УРАВНЕНИЙ С ЧАСТНЫМИ ПРОИЗВОДНЫМИ

1. Введение.

Интегральные операторы преобразуют аналитические функции одного или нескольких комплексных переменных в решения одного уравнения или системы дифференциальных уравнений с частными производными. Оператор (см. ниже) устанавливает Изоморфизм между Различным свойствам аналитических функций соответствуют некоторые аналогичные свойства решений Основная задача этой теории — найти оператор, который устанавливает изоморфизм для данного уравнения, и изучить, как меняются известные соотношения и теоремы при переходе от Таким путем мы получаем теоремы о решениях уравнений с частными производными.

В ряде статей были исследованы интегральные операторы, преобразующие аналитические функции одного комплексного переменного в решения уравнения

(см. [5, 15, стр. 30 и след.]). В частности, изучены решения

порожденные голоморфными и мероморфными "ассоциированными функциями" Здесь так называемая порождающая функция оператора зависит только от уравнения (1); замкнутая кривая в комплексной плоскости Если коэффициенты , С — целые функции двух комплексных переменных то (так называемая порождающая функция первого рода) также является целой функцией от для

Переходя к дифференциальному уравнению с тремя переменными, мы используем интегральные операторы несколько иной структуры. Сначала мы рассмотрим случай гармонических функций трех переменных, т. е. решений уравнений

Несколько модифицируя представление Уиттекера для гармонических функций в трехмерном пространстве, напишем

Здесь — простая замкнутая кривая в комплексной плоскости С, аналитическая функция от к и С. голоморфная в достаточно малой окрестности для любого . С другой стороны, данной гармонической

функции соответствует бесконечно много ассоциированных функций, так как

Мы нормируем ассоциированную функцию (по отношению к началу координат), потребовав, чтобы ее разложение в ряд в окрестности начала координат имело вид

Ассоциированная функция для определяется формулой

(см. [15, стр. 71] и статью [9], указанную в библиографии к [15]). Гармонические функции, соответствующие целым, рациональным, алгебраическим и мероморфным ассоциированным функциям изучались в ряде работ [11, 13, 15, 16, 19—21, 27, 29—33, 37, 39, 41, 47, 48, 51, 52]. В частности, исследовался вопрос о связи между свойствами коэффициентов разложения и структурой и расположением особенностей гармонической функции.

В отличие от случая уравнения (1), где ассоциированная является функцией одного комплексного переменного, в случае гармонических функций трех переменных ассоциированная является функцией двух комплексных переменных.

Замечание. Решения многих других дифференциальных уравнений с тремя переменными можно получить из функций двух комплексных переменных, если использовать подходящие операторы (см. [15, гл. III]).

Аналогичное положение имеет место для системы

Шиффер и автор получили в [23] (см. также [12]) интегральный оператор, преобразующий аналитические функции двух комплексных переменных в решения системы (8).

В теории функций двух комплексных переменных проблема связи между коэффициентами разложения в начале координат и структурой и расположением особенностей не развита еще в такой же степени, как в случае одного переменного. Естественно поэтому рассматривать решения уравнений ассоциированными для которых являются функции только одного комплексного переменного. Мы назовем их специальными решениями уравнения (3) или (8). Для этих специальных решений мы можем получить различные результаты, относящиеся к типу, расположению и плотности их особенностей, используя теорию функций одного комплексного переменного.

Пример. В случае уравнения (3) из соотношения

вытекает следующий результат. Предположим, что гармоническая функция имеет специальный вид, например, разлагается в ряд, стоящий в правой части (9); если коэффициенты удовлетворяют условиям Адамара, то ассоциированная функция может иметь в качестве особенностей только полюсы

С другой стороны, теория интегральных операторов позволяет определить структуру и расположение особенностей специальной гармонической функции ассоциированная с которой функция является суммой выражений вида (10).

Таким путем мы получаем теоремы о поведении в целом специальных гармонических функций. Другие примеры специальных гармонических функций и подробное изложение см. в работах [19—21].

Аналогично, использование теории Неванлинны дает результаты относительно роста функции и плотности некоторых особенностей функции, обратной к целому специальному решению.

В настоящей статье (см. п. 4), используя теорию интегральных операторов, мы исследуем ту же задачу о связи между коэффициентами разложения в ряд и расположением особенностей решения уравнения (8) в общем случае, а именно, когда имеет разложение

причем ассоциированная с функция является функцией двух комплексных переменных. Для этой цели нам нужен метод, позволяющий находить соотношения между коэффициентами разложения в ряд функции двух комплексных переменных и расположением и свойствами ее особенностей. Такой метод развит в п. 2,3. Используя результаты п. 2,3, мы в п. 4 рассматриваем проблему коэффициентов для решений системы (8).

В п. 5 мы исследуем целые решения уравнения (1) для когда С — полином по степени Показано, что порождающая функция первого рода является целой функцией, порядок которой не превосходит Это позволяет получить границы роста для целых решений в терминах коэффициентов разложения в окрестности начала координат.

Применение результатов п. 2,3 к гармоническим функциям трех переменных будет рассматриваться в другом месте.

Кроме гармонических функций, можно рассматривать гармонические векторы, т. е. векторы, компоненты которых связаны соотношениями

В частности, мы можем рассмотреть отображения областей трехмерного пространства, когда регулярные функции и

Вектор можно представить в виде

где регулярная гармоническая функция, регулярная аналитическая функция одного комплексного переменного Область, где регулярны и имеет место соотношение (13), называется областью регулярности этого отображения. Используя результаты о связи между коэффициентами разложения в ряд функций и их особенностями, можно определить область регулярности которая содержит область регулярности отображения (14).