§ 3. Гармонические функции, В3-ассоциированные функции которых рациональны

При рассмотрении отображений гармонических функций на алгебру (комплексных) аналитических функций имеется две возможности: либо мы рассматриваем оператор

где аналитическая функция а и С, либо мы рассматриваем выражение Я по формуле (2.12). Функции называются соответственно и -ассоциированными с .

Обобщая подход, использованный в случае дифференциальных уравнений с двумя переменными, при классификации гармонических функций трех переменных естественно рассматривать гармонические функции, ассоциированными с которыми служат полиномы, рациональные или алгебраические функции и т. д.

Так как в случае оператора переход от функций, образующих алгебру, к гармоническим функциям включает только одно интегрирование, в такой классификации удобнее использовать -ассоциации. (С другой стороны, использование -ассоциаций имеет различные неудобства; например, -ассоциированная функция для заданной гармонической функции не определяется

однозначно, переменные и и С входят в формулу перехода несимметрично и т. д., так что во многих случаях мы используем также и -ассоциации.)

Далее, для различных целей интересно рассматривать различные обобщения и модификации интегрального оператора так как, используя эти модифицированные интегральные операторы, мы получаем из сравнительно простых ассоциированных функций новые гармонические функции с интересными особенностями. В этих случаях мы можем повторить многое из того, что мы делаем при применении оператора . В частности, иногда кривую интегрирования удобно заменять другой (открытой или замкнутой) кривой . Если интегрирование выполняется для значений X, принадлежащих достаточно малой окрестности точки то мы будем обозначать этот оператор символом

Далее, естественно рассматривать также ассоциированные которые не являются регулярными функциями от С.

Прежде чем исследовать гармонические функции, получаемые при использовании различных -ассоциаций, мы дадим несколько примеров представления (1). В этом параграфе мы будем рассматривать рациональные социированные функции.

Замечание. Заметим, что иногда ассоциированные функции в этих примерах сингулярны в начале координат. Сдвинув начало координат, мы можем получить функции, регулярные в новом начале координат. Желая получить простейшие формулы, мы не будем производить это последнее преобразование в явном виде.

1. Пусть где любое, неотрицательное целое число. Тогда без труда получаем

где присоединенные функции Лежандра и сферические координаты Если то

2. Пусть

где А — любая постоянная произвольное неотрицательное целое число. Если мы выразим А через действительную и мнимую части, а именно и затем заменим х на то мы сразу заметим, что действие эквивалентно сдвигу. Следовательно, без ограничения общности мы можем предположить, что Рассмотрим теперь четыре различных случая:

(а) Простым вычислением находим, что

Таким образом, функция обращается в бесконечность только в начале координат (если рассматривать ее как функцию действительных переменных и меняет знак при переходе через плоскость .

(б) Непосредственным вычислением получаем

При эта формула сводится к (4); здесь также функция умножается на при перемене знака х и не ограничена вблизи начала координат. Однако следует заметить, что если, не пользуясь определением по формуле (5) для нижнего полупространства

продолжить аналитически выражение, данное в (5) для то мы получим функцию, гармоническую во всем действительном пространстве х, у, z, за исключением отрицательной части оси х, где функция обращается в бесконечность.

Рис. II.1. Поверхности

Таким образом, мы получаем пример гармонической функции, которая имеет особенность не в одной точке, а на целой линии. Поведение такой функции иллюстрируют рис. 11. 2а и 2б, на которых показаны линии уровня мнимой части этой функции соответственно в плоскостях (для ).

(в) В этом случае получаем

где нужно выбрать такое значение квадратного корня, чтобы внутри единичного круга лежало число

Рис. II.2а, 2б. (см. скан) Поверхности

[один из двух нулей знаменателя подинтегрального выражения в формуле (6)]; другой нуль лежит вне круга, так как произведение этих нулей равно единице. Интеграл определен для всех точек, координата х которых не равна нулю, и равен для тех точек плоскости которые удовлетворяют дополнительному условию

Рис. II. 3. Поверхности

Очевидно, что функция определенная формулой (6), составляет одну ветвь двузначной функции, которая обращается в бесконечность вдоль окружности и что эта окружность является "линией разветвления", аналогичной точкам разветвления многозначных функций комплексного переменного. Как и в случае (б), мы пришли, следовательно, к функции, особенности которой образуют кривую. Если положить равным нулю, то "линия разветвления" стягивается в начало координат — единственную особую точку (для действительных функции это случай

(г)Наконец, мы получаем для ассоциированной функции соответствующую гармоническую

функцию

где знак радикала следует выбрать такой же, как в случае . В этом случае мы снова находим, что определяемая формулой (7) функция является одной ветвью двузначной функции, которая разветвляется вдоль окружности

В (2.18) дается общая формула для гармонических функций, для которых -ассоциированная функция является целой функцией от а и Теперь мы дадим аналогичное представление для гармонических функций с рациональной -ассоциированной.

Пусть

где

здесь (комплексные) постоянные.

Формальное вычисление показывает, что

где

а пределы суммирования для даны в работе [28, стр. 475, формула (2.9)].

Замечание. Для значений , для которых или имеем

Справедливы следующие соотношения, аналогичные формуле (9):

где строятся из таким же образом, как если заменить соответственно на

Лемма. Рациональная функция (8), где задаются соответственно формулами (8а) и (8б), может бить записана для в виде

Здесь и описанные выше полиномы от [см. (10) и (11).

Пусть корни уравнения

и пусть

— дискриминант уравнения (13).

Можно различать два случая:

Здесь будет рассматриваться только первый случай. Во втором случае можно использовать аналогичные рассуждения, но формулы следует видоизменить.

Теорема 3.1. Гармоническая функция с ассоциированной функцией вида (12) является рациональной функцией переменных где - корни уравнения (13).

Если то для любого X, такого, что имеем

Суммирование в (16) распространяется на все для которых

Доказательство. Если то, применяя теорему о вычетах, мы из формулы (12) получаем соотношение (16). Первая часть теоремы ясна.

Функции в правой части (16) могут иметь особенности только на множестве т. е. там, где

Для представление, аналогичное (16), дается в [28, стр. 476]. Далее, в [28] определяется число независимых постоянных [см. (10)].

Область ассоциации. Рассуждения настоящего параграфа могут быть несколько модифицированы. Вместо интегрирования по кривой как это делается в (16), мы можем рассмотреть аналогичные интегралы по другой простой замкнутой ориентированной кривой в плоскости С которая не охватывает начала координат.

В этом случае мы получаем снова правую часть выражения (16), где суммирование проводится по всем корням лежащим во внутренности 2. Интересно исследовать, как изменяется новое выражение, когда точка X двигается в (действительном) пространстве х, у, z.

Пусть рациональная функция от , введенная в формулах (8) и (12). Для любого фиксированного значения С равенство

которое может быть записано также в виде

определяет прямых линий в пространстве Если С пробегает кривую , то

образует линейчатую поверхность (отделяющую поверхность) в пространстве х, у, z. Эта поверхность (которая может состоять из нескольких компонент) в общем случае разделяет действительное пространство х, у, z на несколько областей Мы будем говорить, что области ассоциации представления

относительно кривой интегрирования . Пока точка остается внутри одной области одни и те же корни лежат внутри 8 и по ним производится суммирование в правой части формулы (16), но когда точка переходит из области в один или более корней могут перейти внутрь или во внешность , так что значение интеграла (21) может иметь скачок [7, 9, 28, 30, 38].

Классы гармонических функций с рациональными -ассоциированными функциями, которые имеют более сложные алгебраические кривые особенностей, рассмотрены в работе [125].