§ 2. Обобщение представления (1.12) решений уравнения (1.6)

В настоящем параграфе мы рассмотрим порождающую функцию в случае, когда в уравнении

и не целая функция; вместо этого мы предполагаем, что F разлагается в ряд Дирихле

Напишем аналогичное (1.11а) разложение

Подставляя (2) в ( и приравнивая нулю коэффициенты при мы получаем следующую систему уравнений:

Уравнения (За), (36) определяют каждую функцию с точностью до произвольной аддитивной постоянной. Чтобы определить эти функции единственным образом, можно наложить требование

где а — произвольное отрицательное число или Нам удобно выбрать так что условие нормировки (4) приобретает вид

Замечание. В рассмотренном в § 1 упрощенном случае имеем

При исследовании решений уравнения (1.6) удобно использовать вместо представления (1.1.4) представление (1.3.46) (см. стр. 34). Основной результат настоящего параграфа содержится в следующей теореме.

Теорема 2.1. Пусть аналитическая функция от X, допускающая разложение (1) в полуплоскости Тогда F обладает тем свойством, что для любого существует (конечное) положительное число для которого действительно и

Пусть аналитическая функция, регулярная в области , содержащей начало координат. Тогда ряд

где сходится и определяет решение уравнения (1.6) в каждой односвязной области, лежащей в пересечении

с областью, определяемой парой неравенств полагаем Доказательство. Введем функцию

Для каждого существует некоторая постоянная, скажем А такая, что при выполняется неравенство

Пусть фиксированная положительная постоянная, Проведем окружность с центром где и радиусом Эта окружность лежит целиком слева от прямой Согласно интегральной формуле Коши,

Положим тогда примет вид

Однако, в силу (10),

Так как имеем

Так как существует константа, скажем такая, что правая часть неравенства (14) меньше при всех таких Таким образом,

Для неравенство (7) следует немедленно из Теперь пусть задано Определим такие, что Числам соответствует упомянутая выше величина Для функций введенных в начале этого параграфа, определим мажоранты по рекуррентным формулам

Докажем теперь по индукции, что удовлетворяют равенствам

где подходящим образом выбранные постоянные. (В частности, Действительно, предположим, что (17) имеет место для Тогда

или

т. е.

Таким образом,

и, следовательно,

Так как может быть взято сколь угодно близким к 1, мажорирующий ряд а следовательно, и ряд (2) сходятся при или Отсюда следует утверждение теоремы, и доказательство закончено.

В заключение этого параграфа коротко рассмотрим метод продолжения оператора определенного формулой следовательно, представления (8) для решений уравнения (1.6)], на всю полуплоскость таким образом, будет снято требование, введенное в формулировке теоремы 1, чтобы точка принадлежала клинообразной области Полагая мы видим, что становится аналитической функцией для с разложением в ряд Тейлора

Для любого определяем приближение к этой функции следующим образом:

Последний ряд сходится при всех X, и из теории сходящихся рядов известно, что его сумма стремится к при не только в круге но также и в наибольшей области, звездной по отношению к в которой регулярна. Для каждого а мы связываем с оператор тем же способом, как в начале этого параграфа мы связывали Далее мы определяем

последовательность функций по аналогии с формулой (8); сразу видно, что для этих разложений ограничение может быть отброшено. Затем легко показать, что существует предел который удовлетворяет уравнению (1.6) в каждой односвязной области, лежащей в пересечении полуплоскости с областью регулярности для Следовательно, решение, определяемое формулой (8), аналитически продолжается за првделы упомянутой выше клинообразной области.