§ 2. Интегральный оператор первого рода

Как указывалось во введении, мы связываем функцию с действительным решением уравнения регулярным в точке 0. Здесь с — постоянная, зависящая от целая функция, зависящая только от уравнения

Определение. Мы назовем оператор который переводит интегральным оператором первого рода для уравнения

Интегральный оператор такого вида может быть получен следующим образом. Пусть

и

Лемма. Если имеют вид

то

представляет собой интегральный оператор первого рода. [Здесь определяется формулой (2)].

Доказател ьство. Имеем

Замечание. Символом мы будем обозначать комплексное решение

уравнения (1.6).

Мы должны еще показать, что функции порождающие интегральный оператор первого рода, существуют.

Теорема 2.1. Пусть коэффициенты А, В, С уравнения (1.6) являются аналитическими функциями двух комплексных переменных, регулярными в бицилиндре

Тогда функция регулярна в области

Замечание. регулярны в области

Доказательство. В доказательстве этой теоремы мы используем метод мажорант. В силу наших предположений мы получаем для мажоранты

где подходящим образом выбранная постоянная. Напишем

Согласно лемме на стр. удовлетворяет уравнению

Подставляя (7) в (8), мы получаем следующие уравнения для

Так как аналитические функции двух комплексных переменных в функции также аналитичны в и нам остается только показать, что ряд в правой части формулы (7) сходится.

Мажоранты для дают формулы (6). Мы определим мажоранты для следующим

(кликните для просмотра скана)

Мажорирующий ряд для (7)

сходится при .

Замечание. Эйхлер [233] независимо от автора [14] получил интегральный оператор первого рода. Некоторые дифференциальные уравнения с регулярными и сингулярными коэффициентами также рассмотрены в работах [234] и [235] (ср. § 9 и гл. V).