§ 5. Обобщение теорем о вычетах на случай уравнения ...

В настоящем параграфе по аналогии с тем, как мы поступали в § 7, гл. I, мы покажем, что некоторые результаты о криволинейных интегралах от гармонических векторов можно обобщить, изучая решение дифференциального уравнения

Здесь целая функция от Согласно (III. 1.4), стр. 104, и (III. 2.9), стр. 108, решение уравнения (1) можно представить в виде

Следуя методу, используемому в случае гармонических функций, мы каждому решению с функциональным элементом в начале координат

ставим в соответствие две функции

и

Определение. Назовем вектор имеющий компоненты [см. (3) — (6)] принадлежащим классу

Заметим, что если уравнение Лапласа, то такие векторы гармоничны. Мы увидим, что некоторые комбинации криволинейных интегралов от векторов класса обладают интересными свойствами.

Теорема 5.1. Пусть -вектор класса регулярный в замкнутом шаре с центром в начале координат и радиусом Тогда

в предположении, что — замкнутая достаточно регулярная кривая, лежащая на границе

Справедливость нашего утверждения немедленно следует из формулы (2) и равенства

которое имеет место, так как внутренний интеграл равен нулю для всякого х.

При вычислении первого интеграла в формуле (7) повторным интегрированием используется тот факт, что постоянно на правую часть равенства (7)].

Описанный метод можно модифицировать так, что он будет применим в случае, когда имеет некоторые особенности в Мы рассматриваем вектор компоненты которого соответствуют -ассоциированным функциям

В случае уравнения Лапласа -ассоциированным функциям (8) соответствует двузначный гармонический

вектор Ветви этого вектора имеют вид

Если в (8) подставить умножить на и проинтегрировать по то мы получим каждую из этих ветвей вне множества где

внешность окружности в плоскости см. рис. IV.3); можно аналитически продолжить вдоль любого пути на

Рис. IV.3. Пересечение линии разветвления 3, поверхностей с плоскостью

Пусть обозначим через предел когда Я стремится к сверху (т. е. . Пусть предел когда Я стремится к снизу. Аналогично определим тогда мы получим

Определим теперь вектор равенством

где

Применяя к векторному полю оператор который определяется формулой

мы получаем снова векторное поле с линией разветвления

Рис. IV4. Кривые

Однако на этот раз удобно разрезать пространство вдоль поверхности

обозначим соответствующие ветви через Применяя оператор к ветви , вектора мы получим ветви векторного поля

Теорема 5.2. Пусть векторное поле, где пусть ассоциированным

гармоническим вектором для является вектор

где гармонический вектор, регулярный в замкнутом шаре и с — постоянная. Если — замкнутая дифференцируемая кривая, лежащая на границе шара то

где величина, зависящая только от х и некоторых топологических свойств в где — пересечение 3 с [ел. величина, зависящая от (пересечение , см. (14)]. (Подробности см. в работе

Доказательство. Обозначим через часть пространства, в которой и разделим путь на две части:

Тогда

Изменим порядок интегрирования; тогда, принимая во внимание формулу (15) и то, что постоянно вдоль получаем

Здесь сумма интервалов выбрано так, что кривая не пересекает при

Согласно теореме 1 [см. (6)], первый член в правой части равенства (18) равен нулю. Для имеем

так как путь, который можно стянуть в точку, не пересекая множество 91. Таким образом, последний интеграл в правой части равенства (18) также равен нулю,

Интеграл есть величина, зависящая только от некоторых топологических свойств 3 и от пересечения

Аналогично, интеграл

есть величина, зависящая только от и где пересечение 3 с поверхностью пересечение Это доказывает теорему 2 (см. [38]).