§ 4. Периоды

В настоящем параграфе рассматривается более общий класс гармонических функций, имеющих алгебраические -ассоциированные функции, а именно, класс функций, которые получаются, когда кривая интегрирования не гомотопна нулю. [Предполагается, что замкнутая кривая на римановой поверхности При исследовании этих функций можно использовать классические результаты об интегралах от алгебраических функций. Однако, в противоположность классическому случаю одного комплексного переменного, функции зависят от переменных х, у, z, которые играют роль параметров.

В3-ассоциированные функции определены на римановой поверхности

где а — полином от , коэффициенты которого — рациональные функции от После подстановки

уравнение (1) принимает вид

где А — полином от

Наиболее общая форма периодов алгебраической гармонической функции рода имеет вид

Здесь алгебраические функции от связаны соотношением (1а) [относительно и т. д. см. стр. 86].

Замечание. Имеется некоторый произвол в выборе так как можно умножить на произвольную функцию и одновременно разделить на ту же функцию. Это не изменит произведения. Сами функции не обязательно гармонические.

Пусть -некоторая риманова поверхность. Периоды интегралов первого, второго и третьего рода, полученные интегрированием вдоль фундаментальных кривых, равны

Здесь периоды интегралов первого рода (т. е. интегралов, которые всюду конечны); периоды интегралов второго рода (т. е. интегралов от функций, которые обращаются в бесконечность в одной точке -периоды интегралов третьего рода, которые имеют логарифмическую бесконечность в двух точках и Мы выберем

Периоды интегралов от алгебраических функций, введенные в этом параграфе, выражаются в форме (2), т. е. в виде комбинаций алгебраических функций от х, у, z с трансцендентными функциями

Так как каждая замкнутая кривая на римановой поверхности (кроме, быть может, некоторых исключительных значений может быть представлена как комбинация базисных кривых, мы получаем интегралы, которые также представляются как линейные комбинации вида (2). Периоды не являются независимыми. В частности, обобщенные соотношения Лежандра для функций

Развивая рассматриваемую теорию, полезно ввести, как и в классическом случае, тета-функции. Напомним определение -функций, а именно (см. [198, стр.

Если вместо подставить периоды нормальных римановых интегралов первого рода, то получаются функции, которые зависят от переменных и от х, у, z. Обозначим эти функции так:

Пусть

есть нормальный риманов интеграл первого рода. Тогда мы получаем для периодов нормальных римановых интегралов второго и третьего рода соотношения

(см. [9, стр. 550]). Следовательно, гармонические функции вида

рациональная функция от связаны соотношением (1)] можно выразить через конечное число трансцендентных функций используя введенные в -функции и их производные.

Мы приступим теперь к вопросу о расположении и свойствах особенностей. Однако мы ограничимся рассмотрением гиперэллиптического случая. В этом случае, как показали Фукс и другие, периоды интегралов первого, второго и третьего рода, рассматриваемые как функции точки разветвления, удовлетворяют линейному уравнению в частных производных (порядка в случае интегралов первого и второго рода и порядка в случае интегралов третьего рода).

Используя эти результаты, можно показать, что в случае гиперэллиптических интегралов периоды удовлетворяют не только гармоническому уравнению, но и обыкновенному дифференциальному уравнению вида

и аналогичным уравнениям по переменным у и z. Здесь алгебраические функции от х, у, z.

Особенности этих функций лежат на алгебраических кривых. Пусть и (для фиксированного X) обозначают две различные точки разветвления рассматриваемого подинтегрального выражения, тогда интегралы первого и второго рода имеют особенности вдоль линий

Периоды интегралов третьего рода имеют, кроме того, особенности вдоль линий

В окрестности этих линий (за исключением некоторых точек) рассматриваемые функции, будучи сингулярными,

могут быть представлены в виде

где степенные ряды по коэффициенты которых являются алгебраическими функциями от Подробнее см. [9].

Эти общие рассуждения мы проиллюстрируем на одном частном случае, который приводит к эллиптическим интегралам.

Рассмотрим случай, когда

Здесь связаны соотношением

где — константы.

Применяя некоторые преобразования (обычные в теории эллиптических функций, см. [9]), получаем следующую форму периодов:

Уравнение (15) приобретает вид

где полиномы от х, у, z. Используя функцию Вейерштрасса можно выразить функции и

следующим образом:

где

Пусть (о (X), периоды нормальных интегралов в форме Лежандра, т. е. периоды интегралов

где

а — решения уравнения

Функция , рассматриваемая как функция от к, удовлетворяет уравнению

Особыми кривыми для являются линии

В окрестности получаем представления ,

где — функции от регулярные вдоль кривой Аналогичные разложения имеют место в окрестности кривых и (см. [9]).