Глава IV. СИСТЕМЫ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ

§ 1. Гармонические векторы от трех переменных. Предварительные сведения

Кроме гармонических функций, рассмотренных подробно в гл. И, интересно также изучить гармонические векторы т. е. векторные поля, удовлетворяющие паре уравнений

Такое поле называется гармоническим, так как каждая из трех компонент является гармонической функцией и компоненты связаны обобщенными сопряженными уравнениями Коши — Римана. Для таких полей мы получим интегральное представление, являющееся естественным обобщением представления гармонических функций . Запишем векторное поле с помощью его компонент, Мы сразу видим, что если одна из компонент, скажем заданная гармоническая функция, то две другие компоненты должны удовлетворять системе уравнений в частных производных первого порядка (1). Однако эта система уравнений не полностью определяет остальные две компоненты. В самом деле, справедлива следующая лемма.

Лемма. Пусть гармоническое векторное поле с действительными компонентами,

определенное в некоторой области, . Тогда наиболее общий вид гармонического векторного поля с заданной первой компонентой — функцией определяется равенствами

где произвольная функция от аналитическая в области, являющейся проекцией на плоскость

Доказательство. Пусть другая пара действительных функций, такая, что поле также гармонично в . Тогда из уравнений (1) следует, что

Последние два уравнения показывают, что функция не зависит от первые два показывают, что эта функция аналитична по Этот результат эквивалентен утверждению леммы.

Пусть теперь выражается в виде (II. 3.1), а именно

Как показывает простое вычисление, можно принять за первую компоненту гармонического векторного поля

вторая и третья компоненты которого заданы равенствами

наиболее общий вид таких компонент дается в лемме.

Далее мы рассмотрим криволинейные интегралы для векторного поля, компоненты которого задаются формулами (4а) и (4б), и получим соотношения между такими интегралами и функ цией фигурирующей в этих формулах.