4. Обобщение результатов п. 2,3 на случай одной системы дифференциальных уравнений.

Шиффер и автор [23, 12] определили интегральные операторы, порождающие решения системы двух линейных уравнений с частными производными

В работе [12] (см. теорему 1 на стр. 995) показано, что для каждой системы (1) существуют четыре порождающие функции

(целые по такие, что каждое действительное решение регулярное в начале координат, может быть

представлено в виде

(см. скан)

Здесь аналитические функции соответственно от регулярные в начале координат, где А — сопряженное к Обратно, если аналитические функции, то правая часть (3) является решением системы (1). Области, в которых имеют место представления (4) и (5), называются областями представления соответственно операторов Для определения функций можно использовать следующие уравнения:

Пусть решение системы (1) имеет разложение

в окрестности начала координат. Тогда

Порождающие функции являются целыми функциями переменных при Таким образом, порождаемое решение определено и голоморфно в каждой области 35, такой, что голоморфна в и обладает следующим свойством: точку можно соединить с началом координат посредством . Здесь — прямое произведение двух простых кривых, одной из плоскости другой из плоскости

Функция регулярна в односвязная область, обладающая упомянутым выше свойством. Таким образом, также регулярна в

Замечание 4.1. Решение можно рассматривать либо в четырехмерном пространстве т. е. для действительных сопряженное к либо в восьмимерном пространстве Тогда мы предполагаем, что В этом случае два независимых переменных.

В дальнейшем мы предположим, что Кроме функций мы также рассмотрим функции последнем случае областью регулярности будет уже не а область которая получается при

замене точек области точками Аналогично, следует заменить плоскости (2.1) плоскостями

(Трехмерные) гиперповерхности следует заменить гиперповерхностями, получаемыми тем же путем, что и в при помощи плоскостей вместо Новые гиперповерхности мы обозначим так:

Так как функции см. (2), являются целыми функциями по то применение результатов из дает аналогичные результаты для решений системы (1).

Теорема 4.1. Пусть

— действительное решение системы (1). Предположим, коэффициенты

удовлетворяют условиям леммы 2.1. Тогда функция голоморфна в [ел. (2.6), (2.7), (2.8), (2.8а)]. Если коэффициенты ряда

удовлетворяют условиям леммы функция регулярна в

Теорема 4.1 следует почти сразу из формул (8) и (9) и из того, что — целые

функции от Функция регулярна во всякой области, в которой регулярна С другой стороны, разложение для функции дается в правой части (9). Аналогично доказывается второе утверждение теоремы 4.1.

Если мы применим оператор к функции имеющей в полюсы, то мы получим особенности, которые, вообще говоря, будут линиями разветвления. Это следует из того, что, согласно формуле (13) из [12, стр. 997], наш оператор можно записать в виде

Здесь целые функции, просто связанные с ( см. [12]).

Предположим, что функция в достаточно малой окрестности допускает представление где регулярные функции. Тогда

и

бесконечнозначные функции от

В соответствии с этим множества 11, где аналитические функции имеют бесконечность конечного порядка и однозначны, преобразуются оператором в множества , где имеют бесконечность того же порядка, что и но бесконечнозначны.

Замечание 4.2. Интегральным представлением (4) функции определены в "области ассоциации" рассматриваемого интегрального оператора, т. е. в области, где имеет место представление в виде (4). Аналитическим продолжением функцию можно определить во всей области ее существования. Таким образом, используя теорию функций комплексных переменных, мы можем в некоторых случаях делать выводы о поведении также вне области ассоциации.

Теорема 4.2. Пусть действительное решение системы (1), имеющее разложение в ряд (8) в окрестности начала координат. Обозначим через функции (3.4), которые получаются из (3.5) заменой коэффициентов на

1. Если удовлетворяют условиям (3.7), (3.8) леммы 3.1, то функция имеет самое большее особых множеств разветвления и не имеет других особенностей на границе (3.6).

2. Пусть соотношение (3.9) выполнено для Тогда имеет самое большее конечное число линий разветвления .

3. Если (3.10) имеет место для то в каждой конечной области имеет только конечное число особых множеств на границе области ассоциации.

4. Если удовлетворяют соотношению (3.11), то функция имеет конечное число множеств разветвления 33 в каждой области (3.12) и бесконечно много множеств разветвления в окрестности (3.13).

Аналогичные соотношения справедливы для В последнем случае следует определить,

пользуя коэффициенты (3.5); линии разветвления 2 совпадают с множествами (12).