§ 6. Интегральный оператор, порождающий решения уравнения ...

В работе [235] рассматривается дифференциальное уравнение

в римановом пространстве с фундаментальным тензором Здесь означает ковариантное дифференцйро вание, произвольный контравариантный вектор произвольный скаляр; и к — действительные аналитические функции координат.

Эйхлер более подробно рассматривает трехмерный случай риманова пространства заданного фундаментальным тензором

Определение. Величина называется -аналитической функцией в если она удовлетворяет дифференциальному уравнению

Следовательно, удовлетворяют системе

Если независимы, то можно ввести в систему координат добавив к третью независимую переменную Показано, что уравнение (1) можно тогда заменить функциональным уравнением

где имеют вид

Далее доказывается, что по аналогии со случаем дифференциального уравнения (1.1.6), стр. 26, существует интегральный оператор

преобразующий аналитические функции комплексного переменного в решения уравнения (3). Здесь — функционалы, задаваемые рекуррентными соотношениями

Таким способом получается интегральное представление решения уравнения (1) через аналитические функции одного комплексного переменного. Все результаты и рассуждения справедливы локально.

Чтобы получить интересующий нас оператор, необходимо провести некоторые рассмотрения дифференциальногеометрического характера.

I. Во-первых, доказывается, что решения уравнения (2) можно получить следующим путем. Пусть евклидова плоскость с координатами Определяется отображение на имеющее характер проектирования: каждому "лучу на соответствует точка на Это проектирование можно описать следующим образом: направление проектирования задает поле векторов

где - кососимметрический тензор (плотность) ранга 3. Вектор

показывает направление лучей, так что

Доказывается, что удовлетворяет равенству

Далее доказывается, что если задан вектор удовлетворяющий (9) и (10), то можно найти аналитическую функцию z [т. е. функцию, удовлетворяющую уравнению (2)], и обратно. Следовательно, уравнение (2) эквивалентно паре уравнений (9) и (10).

II. В дальнейшем дифференциальный оператор 2 обозначается символом . Два оператора второго порядка и называются подобными, если является либо нулем, либо оператором первого порядка.

Запишем где - три вектора, для которых тогда — т. е. оператор подобен квадратичной форме от трех линейно независимых векторов.

Показывается, что можно подобрать линейное преобразование такое, что

где удовлетворяют соотношениям

Здесь подходящие скаляры. Представление оператора , где удовлетворяют соотноше ниям (12), называется каноническим. Как следует из (12) и (11), существуют - аналитические функции для которых

Обратно, каждая -аналитическая функция дает каноническое представление оператора .

Пусть произвольно, но не зависит от Тогда в силу (2) фундаментальная форма пространства становится равной

с подходящими коэффициентами Следовательно,

III. Таким образом, показано, что достаточно найти все канонические представления оператора , чтобы получить все - аналитические функции. Доказана следующая теорема.

Пусть — действительная аналитическая поверхность и действительный вектор, определенный в каждой точке Предполоэюим, этот вектор не ортогонален его компоненты — аналитические функции координат. Тогда существует -аналитическая функция z, определенная в некоторой окрестности поверхности и удовлетворяющая на уравнению

Всякая аналитическая функция является функцией от этой функции Изложенный метод иллюстрируется примером (гармоническое уравнение с тремя переменными). Действуя так, как в [235], получаем

что приводит к интегральному оператору рассмотренному в гл. II, § 3, стр. 75 и далее.

Обобщая представление (II. 6.1), стр. 95, можно ввести интегральный оператор вида

порождающий решения уравнения Здесь функция F (продолженная на комплексные значения х, у, z) является целой функцией, фундаментальное решение; некоторые результаты гл. II из работы [25] распространяются на случай такого оператора.

Можно получить еще один оператор, порождающий решения рассматриваемого выше уравнения, используя метод бесконечных приближений (см. [28, стр. 501]). [3, 25, 26, 28—30, 36—39, 125, 235.]