ВВЕДЕНИЕ

В этом разделе мы разъясним основные идеи теории интегральных операторов, порождающих решения линейных уравнений в частных производных с аналитическими коэффициентами.

Простое и хорошо известное соотношение между гармоническими функциями двух действительных переменных и аналитическими функциями одного комплексного переменного допускает единообразное рассмотрение гармонических функций и является одной из причин того, что теория функций комплексного переменного имеет такую широкую область применений. Простой оператор (взятие действительной части) осуществляет переход от аналитических функций к гармоническим, чему соответствует почти немедленная переформулировка теорем для аналитических функций в теоремы для гармонических функций.

Естественно спросить, можно ли связать решения уравнений с частными производными более общего вида с комплексными аналитическими функциями. Такая возможность и в самом деле имеется, что приводит к унифицированной теории широкого класса линейных уравнений с частными производными. Существует бесконечно много операторов (обобщающих оператор которые преобразуют аналитические функции в решения различных классов линейных уравнений в частных производных с аналитическими коэффициентами. Подавляющее большинство этих операторов довольно сложны, однако некоторые из них можно использовать для развития глубокой и систематической теории уравнений с частными производными на базе теории функций. Первая задача состоит в том, чтобы ввести операторы, для которых

соотношение между решениями уравнений с частными производными и соответствующими аналитическими функциями оказывается сравнительно простым и которые сохраняют многие основные свойства аналитических функций. Опыт показывает, что для различных целей приходится вводить различные операторы.

Теория решений уравнений с частными производными вида

для двух действительных переменных х, у с действительными аналитическими коэффициентами а, b и с может быть развита при помощи подходящих операторов, преобразующих аналитические функции в решения уравнения (1а). С этой целью удобно продолжить с на комплексные значения Введем комплексные переменные

(которые комплексно сопряжены в том и только том случае, когда х и у действительны). Тогда уравнение (1а) примет вид

В гл. I мы вводим оператор первого рода, который преобразует аналитические функции в комплексные решения уравнения (16), такие, что действительные решения могут быть выражены в форме

Функция получается как интегральное преобразование функции (см. гл. I, § 1). Интересно, что существует формула обращения, дающая выражение

через которое зависит только от [см. (16)], а именно:

В § 1 вводится интегральный оператор первого рода [обратный к (4)], который преобразует [см. (I.3.3), (I. 3.4а), (I. 3.4б)].

Определение. Функция определяемая формулой (4), называется -ассоциированной с относительно указанного интегрального оператора первого рода.

Замечание. Как мы увидим далее, для разных целей бывает удобно нормировать -ассоциированную функцию различными способами. Иногда мы называем функцию -ассоциированной. Во избежание слишком большого числа определений мы будем говорить о всех таких функциях, как о -ассоциированных; специальный выбор функции будет ясен из контекста.

Будет показано, что многие свойства аналитических функций естественным образом соответствуют свойствам решений уравнения (16). Мы также рассмотрим ряд других интегральных операторов, интересных для различных специальных целей.

Замечание. Если рассматривать решения уравнения (1а) для комплексных значений х и у, т. е. если допустить, что два независимых переменных, то формула Римана для гиперболических уравнений даст интегральный оператор, преобразующий две функции одного переменного в решение уравнения с частными производными (1а). Основное преимущество введения других интегральных операторов заключается в следующем: различные операторы (записанные подходящим образом) показывают, что разные свойства ассоциированных функций либо сохраняются, либо преобразуются в аналогичные свойства класса решений, порожденных соответствующим оператором.

В гл. II мы покажем, что аналогичные методы могут быть развиты для действительных гармонических функций трех действительных переменных х, у, z. В этом случае мы продолжаем х, у, z на комплексные значения и для упрощения формул вводим переменные

Всякой гармонической функции регулярной в начале координат, мы Ставим в соответствие аналитическую функцию двух комплексных переменных. Функция х называется Сассоциированной с Я. Она совпадает с функцией на листе характеристического пространства

а именно:

Функция x является регулярной функцией от . В гл. II, § 2 мы определим оператор, преобразующий Этот оператор включает два интегрирования. После первого интегрирования функция преобразуется в так называемую -ассоциированную функцию с являющуюся функцией двух переменных

Такие -ассоциации были впервые рассмотрены Уиттекером. Они образуют алгебру, но обладают различными недостатками, которых не имеют -ассоциации. Например, две переменные играют совсем разные роли: и зависит от х, у, z, в то время как С есть просто переменная интегрирования. Тем не менее совершенно естественно и поучительно рассматривать гармонические функции, соответствующие -ассоциированным, которые как функции и и С являются рациональными, алгебраическими или интегралами от алгебраических функций и т. д. Это приводят к удобной классификации гармонических функций. Каждый из таких классов обладает интересными характеристическими свойствами. Далее мы

рассмотрим особенности функций, принадлежащих этим классам; эти особенности образуют кривые в действительном пространстве х, у, z, которые могут вырождаться в точки. В связи с этим различные результаты, относящиеся к интегралам от алгебраических функций, могут оказаться полезными для вывода свойств соответствующих классов гармонических функций.

При изучении функций, -ассоциированных с гармоническими функциями трех переменных, мы наблюдаем интересное явление. Предположим сначала, что -ассоциированная функция является рациональной функцией от . Тогда гармоническая функция переменных х, у, z, которая получается при применении интегрального оператора к вообще говоря, не будет регулярной гармонической функцией во всем (действительном) пространстве х, у, z. Это пространство разбивается отделяющими поверхностями на конечное число областей (областей ассоциации), зависящих от оператора и выбора пути интегрирования 8 в плоскости С, причем внутри каждой из этих областей интегральный оператор определяет регулярную гармоническую функцию. При движении точки из одной такой области в другую определяется новая гармоническая функция. Каждая из этих гармонических функций является линейной комбинацией фиксированного множества (многозначных) функций. Коэффициенты этой линейной комбинации зависят от рассматриваемой области ассоциации, т. е. от точек Если точка переходит из одной области ассоциации в другую, то особые точки функции где

могут оказаться внутри или снаружи пути интегрирования 2.

В случае когда -ассоциированная функция является алгебраической или интегралом от алгебраической функции, положение становится еще более сложным. Значительная часть гл. II посвящена анализу гармонических функций, имеющих такие -ассоциированные; специальное внимание уделено особенностям этих функций.

Мы также рассмотрим связь между свойствами некоторых коэффициентов разложения гармонической функции в ряд и расположением и характером ее особенностей.

В § 6 и 7 изучается интегральный оператор другого типа; этот оператор определяет гармонические функции, представляющие собой обобщение ньютоновских потенциалов.

В гл. III изучаются интегральные операторы, преобразующие гармонические функции в решения дифференциальных уравнений

Здесь

- целые функции от целая функция от у и z. Используя подходящий интегральный оператор, можно обобщить некоторые результаты, полученные в гл. II для гармонических функций трех переменных, на случай решений уравнений, написанных выше.

В гл. IV рассматриваются системы уравнений с частными производными. Первые четыре параграфа посвящены гармоническим векторам, т. е. векторным полям в трехмерном пространстве, удовлетворяющим системе уравнений

Систему (10) можно рассматривать как обобщение уравнений Коши — Римана. В частности, каждая компонента гармонического вектора является гармонической

функцией. Из второго уравнения (10) следует, что выражение

(где — компоненты вектора является точным дифференциалом, так что интеграл от такого выражения вдоль любой замкнутой кривой равен нулю, если эта кривая может быть непрерывно стянута в точку внутри области регулярности векторного поля. Однако гармонические векторы , соответствующие рассмотренным в гл. II различным классам -ассоциированных функций, обладают, вообще говоря, особыми точками или линиями, так что интеграл вдоль замкнутой кривой не обязательно равен нулю. В частности, если -ассоциированная функция является алгебраической, мы покажем, что определенные комбинации интегралов где различные ветви одной и той же многозначной вектор-функции, дают значения, зависящие от особых точек или особых кривых рассматриваемого вектора. Таким путем мы получаем теоремы, которые можно рассматривать как обобщения теоремы о вычетах и теоремы Абеля в теории аналитических функций комплексного переменного. В § 5 мы изучаем обобщение некоторых из этих теорем для случая уравнения (8а), когда

В § 6 мы рассматриваем систему

где целые функции указанных переменных. В этом случае можно представить в виде интегрального преобразования пары аналитических функций

двух комплексных переменных, а изучение системы (11) можно связать с теорией функций двух комплексных переменных.

В гл. V изучаются уравнения смешанного типа

где целая функция, такая, что для для

После преобразования

и еще одного дополнительного преобразования уравнение (12) принимает вид

Здесь имеет особенность при (Подробности см. в тексте.) Для очень частного случая уравнения (12), а именно для случая Трикоми (или упрощенного случая) мы имеем

и решение можно записать в форме

где постоянные, гипергеометрическая функция. Мы покажем, что если F имеет вид

где целая функция от то существует порождающая функция которую можно рассматривать как обобщение гипергеометрических функций.

В § 6 мы рассмотрим систему

которая при сводится к уравнениям Коши — Римана. Мы введем оператор, порождающий решения системы (17) и, таким образом, приводящий к классу функций, который является обобщением класса аналитических функций. В § 7 рассматриваются некоторые уравнения эллиптического типа с сингулярными коэффициентами; случай неаналитических коэффициентов изучается в § 8.

В настоящем обзоре автор пытался показать, что многие методы, используемые в теории гармонических функций двух переменных и основанные на их связи с аналитическими функциями одного комплексного переменного, можно обобщить на случай других дифференциальных уравнений. Для этого мы применяем интегральные операторы, при помощи которых мы можем превратить различные теоремы теории функций одного комплексного переменного в теоремы о решениях некоторого данного линейного уравнения в частных производных с аналитическими коэффициентами. Таким путем мы получаем результаты, которые зависят только от некоторых весьма общих свойств коэффициентов этого линейного уравнения в частных производных.

1. Соотношение между подпоследовательностью коэффициентов разложения решения уравнения (16) и расположением и свойствами особенностей функции почти не зависит от коэффициентов А, В, С уравнения (16). (Подробнее см. на стр. 48.) В то время как переход от аналитических функций к решениям уравнения (16) в случае двух действительных переменных сравнительно прост, при рассмотрении дифференциальных уравнений с тремя переменными ситуация значительно сложнее. Здесь разложения имеют вид ряда от трех переменных; тем не менее, мы можем получить информацию о решении, изучая

некоторые подпоследовательности коэффициентов его разложения. В частности, для гармонических функций мы рассматриваем разложения вида где подходящая однородная линейная комбинация сферических функций. Мы покажем, что, зная некоторые подпоследовательности последовательности можм судить об особенностях функции . В этой связи следует подчеркнуть, что особенности решений дифференциальных уравнений с тремя переменными представляют собой, вообще говоря, кривые, и даже для гармонического уравнения мы имеем различные типы особенностей, которые можно рассматривать как обобщения полюсов. Эти результаты можно распространить и на некоторые другие дифференциальные уравнения.

2. Вторая рассматриваемая здесь проблема связана с теорией интегралов от гармонических векторов, компоненты которых являются алгебраическими функциями. Эти интегралы, рассматриваемые как функции верхнего предела, являются трансцендентными функциями. Мы покажем, что некоторые комбинации таких интегралов равны некоторым комбинациям интегралов от алгебраических функций одного комплексного переменного, причем пределы этих интегралов связаны алгебраическими соотношениями.

3. Для гармонических векторов

где , регулярны в достаточно широкой области справедлива теорема о вычетах,

утверждающая, что

Здесь часть , в которой часть в которой (здесь мы не указываем условия, которым должны удовлетворять — действительная величина, зависящая только от пересечения с плоскостью Заметим, что если рассматривать гармонические векторы, для которых то формулу (19) нужно изменить.

Обобщая результаты такого типа на случай вектора компоненты которого удовлетворяют уравнению где целая функция от получим

где лежит на границе шара с центром в начале координат. Здесь функция, зависящая только от дифференциального уравнения, вычет вектора вдоль 3» где гармонический вектор, совпадающий с на границе шара. Наконец, зависит только от точек пересечения вектора с двумя фиксированными поверхностями. (Подробнее см. на стр. 150.) Теоремы такого типа можно обобщить на случай других дифференциальных уравнений, рассматривая векторы в комплексной области.

В предлагаемом обзоре автор пытался, насколько это возможно, показать, что отображение линейных пространств функций на алгебру функций одного или нескольких комплексных переменных представляет собой полезный и сильный аппарат не только в случае гармонических функций двух действительных переменных, но и для решений линейных уравнений в частных производных с аналитическими коэффициентами.

В то время как общая теория уравнений с целыми коэффициентами в случае двух переменных достигла высокой степени развития, в случае трех переменных исследованы лишь специальные типы уравнений и систем [см, (8а), (86), (8в), (10), (11)]. Из уравнений с сингулярными коэффициентами с этой точки зрения изучено лишь уравнение (14).

Интегральные операторы до некоторой степени произвольны. В самом деле, пусть мы имеем решение линейного дифференциального уравнения, зависящее от некоторого параметра. Тогда интеграл от этого решения, умноженного на любую функцию того же параметра, представляет интегральный оператор, порождающий решения данного уравнения. В настоящем обзоре мы рассмотрим те операторы, которые допускают развитие систематической и единой теории решений уравнений с частными производными на базе теории функций комплексного переменного. Можно ожидать, что для дальнейшего развития, этого подхода окажутся полезными другие типы интегральных операторов.

По-видимому, для многих целей представляет особый интерес интегральный оператор вполне определенного типа; с другой стороны, важно изучить различные другие интегральные операторы, так как для специальных целей и специальных типов дифференциальных уравнений полезны другие интегральные операторы.

Мы приводим подробно только те рассуждения, форма изложения которых в оригинальной статье далека от принятой в настоящей книге; в других случаях мы часто отсылаем к литературе за доказательствами и подробностями.

В конце каждой главы перечислены статьи, в которых изложены родственные темы и их приложения.

Автор выражает благодарность Бернарду Эпштейну за большую помощь в подготовке этого обзора, что явилось трудоемкой задачей. Многие из его предложений были использованы в тексте. Ценное участие в подготовке части этой книги принял Син Хитотумату, который также прочел окончательный вариант рукописи. Ясности изложения способствовали дискуссии с Ранко Бояничем, просмотревшим часть рукописи. Большую помощь в

подготовке этого обзора оказал Эрвин Крейсциг, который внес важный вклад в рассматриваемые здесь вопросы. Кроме того, автор благодарит Шарлотту Остин, подготовившую рукопись к изданию.

Наконец, автор выражает благодарность Военно-морскому исследовательскому отделу и Национальному научному фонду за поддержку работы.