Главная > Интегральные операторы в теории линейных уравнений с частными производными
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

2. Формулы для определения области регулярности функции двух комплексных переменных по коэффициентам ее разложения в ряд.

Чтобы вывести формулы для распределения некоторых особенностей функции двух комплексных переменных, исходя из коэффициентов ее разложения в ряд, удобно использовать некоторые специальные координаты (назовем их - координатами) в (четырехмерном) пространстве (обозначим его

Через каждую точку исключая начало координат, проходит одна и только одна плоскость

где для Мы предположим, что начало координат в каждой плоскости (1) совпадает с началом О в в и положительная ось есть часть пересечения для которой В каждой

плоскости (1) мы введем полярные координаты Таким образом, каждая точка в будет определяться двумя комплексными числами а и

Замечание. Для мы заменим (1) уравнением

и рассмотрим в окрестности

Определение. Координаты мы будем называть - координатами в пространстве

Пусть функция двух комплексных переменных, имеющая в окрестности начала координат разложение

Сопоставим коэффициентам следующие функции:

где

Далее, введем "производную справа" по в нуле:

Лемма 2.1. Пусть функция двух комплексных переменных, голоморфная в начале координат О, имеющая разложение (2) в окрестности О. Пусть для каждого существуют окрестность такие, что

Тогда функция регулярна в области где

Здесь определяется формулами

и

непрерывная функция от а.

Доказательство. В каждой плоскости становится функцией одного комплексного переменного, а именно:

В каждой точке в» где регулярна функция также должна быть регулярной. Таким образом, в силу теорем Адамара [1] и Мандельбройта [44], Для каждого а функция должна быть регулярной в пересечении и иметь особенность в точке или Следовательно, - координаты особой точки, лежащей на окружности ближайшей к равны или Чтобы определить знак заменим в на Тогда ряд (9) примет вид

Действуя так же, как прежде, определим Если

то точка особая.

Докажем теперь, что если для коэффициентов функции справедливы предельные соотношения (3) и (8), то функция голоморфна в Покажем, что это будет случай (а) для и случай (б) для .

(а) есть радиус сходимости степенного ряда (9) для Соответствующая функция (рассматриваемая как функция регулярна в достаточно малой окрестности начала координат. Из теоремы Гартогса [25, стр. 72] следует, что регулярна в 8 и что непрерывна [25, стр. 81].

(б) Чтобы доказать регулярность в введем сначала новые координаты

и рассмотрим как функцию двух комплексных переменных Пусть радиус сходимости нового ряда, полученного из (9). Пусть точка лежит на дуге и пусть — угол, который образует кривая в точке с положительным направлением (см. рис. 1). По известной теореме Гартогса,

Предположим сначала, что По данному определим такое, чтобы круг лежал в . Это можно сделать, так как непрерывная функция а. Далее, определим так, чтобы Пусть

Из теоремы Мандельбройта [44] и формулы (5) следует, что для каждого существует область где функция регулярна.

Рис. 1.

Пусть — (четырехмерная) область, заданная равенством

Разность должна быть достаточно малой, чтобы выполнялось соотношение

[это возможно, в силу непрерывности как функции и в силу определения (8)].

Введем теперь новые переменные

Пусть

В каждом круге функция аналитическая функция одного комплексного переменного Следовательно, она может быть записана в виде

Здесь

Так как круг лежит в (где аналитическая функция обоих комплексных переменных), то аналитические функции А для (см. рис. 2).

Ряд обладает следующими свойствами.

1. Коэффициенты аналитические функции А для

2. Для каждого где сходится.

3. В окрестности ряд (18) сходится равномерно, так как область

лежит в и, согласно нашим предыдущим рассуждениям, функция является в 8 аналитической функцией двух комплексных переменных.

По теореме Гартогса [25, стр. 9], ряд (18) сходится равномерно в области и определяет в ней аналитическую функцию двух комплексных переменных. Если то аналитическая функция двух комплексных переменных в

Если (см. рис. 1), то мы действуем аналогично: вместо бицилиндра [см. (13)] мы используем область

получаемую из преобразованием

где достаточно мало.

Если мы заменяем переменное на на тогда мы приходим к предыдущему случаю.

Рис. 2. Пересечение области плоскостью

В наших рассуждениях мы используем плоскости [см. (1)] для определения координат. Очевидно, что можно повторить эти рассуждения, используя вместо плоскостей семействя других поверхностей; например, мы можем ввести

где натуральное число, или даже поверхности

где натуральные числа, Используя эти новые поверхности, мы получим условия регулярности в областях другого типа, отличающихся от рассматриваемых в настоящей статье.

Рис. 3.

1
Оглавление
email@scask.ru