2. Формулы для определения области регулярности функции двух комплексных переменных по коэффициентам ее разложения в ряд.

Чтобы вывести формулы для распределения некоторых особенностей функции двух комплексных переменных, исходя из коэффициентов ее разложения в ряд, удобно использовать некоторые специальные координаты (назовем их - координатами) в (четырехмерном) пространстве (обозначим его

Через каждую точку исключая начало координат, проходит одна и только одна плоскость

где для Мы предположим, что начало координат в каждой плоскости (1) совпадает с началом О в в и положительная ось есть часть пересечения для которой В каждой

плоскости (1) мы введем полярные координаты Таким образом, каждая точка в будет определяться двумя комплексными числами а и

Замечание. Для мы заменим (1) уравнением

и рассмотрим в окрестности

Определение. Координаты мы будем называть - координатами в пространстве

Пусть функция двух комплексных переменных, имеющая в окрестности начала координат разложение

Сопоставим коэффициентам следующие функции:

где

Далее, введем "производную справа" по в нуле:

Лемма 2.1. Пусть функция двух комплексных переменных, голоморфная в начале координат О, имеющая разложение (2) в окрестности О. Пусть для каждого существуют окрестность такие, что

Тогда функция регулярна в области где

Здесь определяется формулами

и

непрерывная функция от а.

Доказательство. В каждой плоскости становится функцией одного комплексного переменного, а именно:

В каждой точке в» где регулярна функция также должна быть регулярной. Таким образом, в силу теорем Адамара [1] и Мандельбройта [44], Для каждого а функция должна быть регулярной в пересечении и иметь особенность в точке или Следовательно, - координаты особой точки, лежащей на окружности ближайшей к равны или Чтобы определить знак заменим в на Тогда ряд (9) примет вид

Действуя так же, как прежде, определим Если

то точка особая.

Докажем теперь, что если для коэффициентов функции справедливы предельные соотношения (3) и (8), то функция голоморфна в Покажем, что это будет случай (а) для и случай (б) для .

(а) есть радиус сходимости степенного ряда (9) для Соответствующая функция (рассматриваемая как функция регулярна в достаточно малой окрестности начала координат. Из теоремы Гартогса [25, стр. 72] следует, что регулярна в 8 и что непрерывна [25, стр. 81].

(б) Чтобы доказать регулярность в введем сначала новые координаты

и рассмотрим как функцию двух комплексных переменных Пусть радиус сходимости нового ряда, полученного из (9). Пусть точка лежит на дуге и пусть — угол, который образует кривая в точке с положительным направлением (см. рис. 1). По известной теореме Гартогса,

Предположим сначала, что По данному определим такое, чтобы круг лежал в . Это можно сделать, так как непрерывная функция а. Далее, определим так, чтобы Пусть

Из теоремы Мандельбройта [44] и формулы (5) следует, что для каждого существует область где функция регулярна.

Рис. 1.

Пусть — (четырехмерная) область, заданная равенством

Разность должна быть достаточно малой, чтобы выполнялось соотношение

[это возможно, в силу непрерывности как функции и в силу определения (8)].

Введем теперь новые переменные

Пусть

В каждом круге функция аналитическая функция одного комплексного переменного Следовательно, она может быть записана в виде

Здесь

Так как круг лежит в (где аналитическая функция обоих комплексных переменных), то аналитические функции А для (см. рис. 2).

Ряд обладает следующими свойствами.

1. Коэффициенты аналитические функции А для

2. Для каждого где сходится.

3. В окрестности ряд (18) сходится равномерно, так как область

лежит в и, согласно нашим предыдущим рассуждениям, функция является в 8 аналитической функцией двух комплексных переменных.

По теореме Гартогса [25, стр. 9], ряд (18) сходится равномерно в области и определяет в ней аналитическую функцию двух комплексных переменных. Если то аналитическая функция двух комплексных переменных в

Если (см. рис. 1), то мы действуем аналогично: вместо бицилиндра [см. (13)] мы используем область

получаемую из преобразованием

где достаточно мало.

Если мы заменяем переменное на на тогда мы приходим к предыдущему случаю.

Рис. 2. Пересечение области плоскостью

В наших рассуждениях мы используем плоскости [см. (1)] для определения координат. Очевидно, что можно повторить эти рассуждения, используя вместо плоскостей семействя других поверхностей; например, мы можем ввести

где натуральное число, или даже поверхности

где натуральные числа, Используя эти новые поверхности, мы получим условия регулярности в областях другого типа, отличающихся от рассматриваемых в настоящей статье.

Рис. 3.