Глава III. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ТРЕМЯ ПЕРЕМЕННЫМИ

Распространяя метод, использованный в предыдущих главах для уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными и для уравнения Лапласа с тремя независимыми переменными, мы изучим в этой главе интегральные операторы, преобразующие функции двух переменных в решения некоторых классов уравнений с частными производными, а именно (0.1.8а), (0.1.8б), (0.1.8в), см. стр. 16.

§ 1. Интегральный оператор, порождающий решения уравнения ...

Теорема 1.1. Пусть удовлетворяет уравнению

для положительная постоянная) где

Предположим, что отношение непрерывно в точке Пусть

и пусть функция аналитична по комплексным переменным для и Тогда

функция определенная формулой

удовлетворяет уравнению (0.1.8а) в окрестности начала координат.

Доказательство. Отметим сначала несколько простых тождеств;

и

где означает производную по первому аргументу;

Из формулы (4) получаем

Заменим в (7) последним выражением в (б), проинтегрируем затем по частям и, приняв во внимание равенство нулю выражения

в концах интервала интегрирования, получим

Берем дивергенцию от обеих частей равенства (8), снова заменяем по формуле (6), интегрируем по частям и

используем первые два равенства из (5). Мы. получаем

Далее, преобразуя левую часть уравнения (0.1.8а) при помощи формул (4), (8), (9) и принимая во внимание последние два уравнения из (5), находим

Наконш» учитывая уравнения (1), (2), (3), приходим к выводу, что выражение в фигурных скобках ком интеграла в (10) тождественно равно нулю. Этии доказательство заканчивается.

Чтобы придать смысл этой теореме, нужщ? доказать существование (нетривиальной) функции удовлетворяющей требуемым условиям. Рассмотрим разложение

и подставим его в уравнение (1). Объединяя все члены с одной и той же степенью х и приравнивая коэффи циенты нулю, получаем

Для выполнения поставленного в теореме условия ревности отношения в точке мы должны потребовать, чтобы имели место равенства

Тогда очевидно, что функции однозначно определены и находятся при помощи последовательных квадратур. Элементарные оценки 1) показывают, что ряд

сходится равномерно и абсолютно для где любая положительная постоянная. Отсюда следует, что ряд (11) определяет функцию непрерывную для всех х в круге и целую по для каждого такого значения