3. Формула для определения расположения некоторых особенностей f(z1, z2) по коэффициентам ее разложения в ряд.

Обобщая метод, развитый в мы рассмотрим далее однозначную функцию двух комплексных переменных с элементом в начале координат. Как прежде, мы предположим, что не имеет особых поверхностей вида (2.1).

Пусть множество особенностей функции Наш метод предполагает разбиение на некоторые

множества, которые мы обозначим Упорядочим для фиксированного а радиусы окружностей на которых расположены особые точки так, было

Аналогично, упорядочим аргументы особых точек, лежащих на окружностях так, чтобы было

Множество точек

для фиксированного мы будем называть особым множеством

Обобщая метод Адамара, поставим в соответствие ряду (2.2) величины:

Многие классические теоремы для функций одного переменного дают теоремы о соотношениях между коэффициентами ряда (2.2) для и расположением особых множеств

Примеры.

Лемма. 3.1. Функция имеет самое большее особых множеств и не имеет других особенностей на границе

круговой области сходимости тогда и только тогда, когда

и

(см. [2 или 36, стр. 333]).

Замечание. Чтобы доказать это утверждение, мы используем непрерывность функции от а.

Лемма 3.2. Пусть существует число такое, что

Тогда функция имеет самое большее конечное число особых множеств в (см. [2, стр. 131] или [36, стр. 335]).

Лемма 3.3. Предположим, что

равномерно по а. Тогда функция имеет только конечное число особых множеств в каждой конечной подобласти области 0 (см. [2 или 36, стр. 335]).

Лемма 3.4. Предположим, что

равномерно по а. Тогда функция имеет конечное число особых множеств в каждой круговой области

Эта функция имеет бесконечное число особых множеств в окрестности

Поведение функции в окрестности множества аналогично поведению аналитической функции одного комплексного переменного в окрестности полюса, например, имеет место

Лемма 3.5. В окрестности множества функция однозначна и имеет бесконечность конечного порядка. Точнее, предположим, что точка множества И, не являющаяся точкой разветвления. Пусть

и — непрерывная функция достаточно мало. Пусть точка, лежащая на расстоянии

от Тогда

где - целое число - постоянная.

Доказательство. Предположим сначала, что особая поверхность представляет собой плоскость, а именно

Плоскость (17) пересекает в точке

где

Квадрат расстояния от до равен

Здесь

— расстояние между и плоскостью (17).

В каждой плоскости функция имеет полюс конечного порядка в Таким образом, существует натуральное число такое, что

Если уравнение особой поверхности имеет в окрестности разложение

то для соответствующих расстояний имеют место равенства

где для достаточно малого

становятся сколь угодно малыми. Таким образом, неравенство (16) справедливо и в этом случае.

Замечание 3.1. Различные результаты теории функций одного комплексного переменного можно использовать для получения соответствующих результатов в случае двух комплексных переменных. В другой статье автор рассмотрит применение неванлинновской теории мероморфных функций для изучения решений

Замечание 3.2. Наш метод обобщается в различных направлениях. Например, методом, используемым в настоящей статье, можно получить результаты теории мероморфных функций трех комплексных переменных.