1. Определение компонент H2 и H3 гармонического вектора по данной компоненте H1

Пусть гармоническая функция, регулярная в достаточно малой окрестности начала координат О.

Как указывалось в [8,15], данной функции соответствует целое семейство сопряженных функций

Здесь любые две сопряженные функции, произвольная аналитическая функция, регулярная в начале координат.

Пусть — односвязная область, удовлетворяющая приводимым ниже условиям и Мы покажем, что для всякой функции регулярной в можно найти две функции регулярные в такие, что будет гармоническим вектором.

Дадее мы рассмотрим различные представления тройки

Пусть регулярна в односвязной области , трехмерного пространства (Как показано в [8], существуют области такие, что не каждая функция регулярная в имеет сопряженные также регулярные в

Сейчас мы опишем класс областей, в которых сопряженные всегда существуют.

Предположим, что односвязная область, содержащая начало координат и обладающая следующими свойствами.

(А) Пересечение области с плоскостью содержит проекции пересечений области с любой плоскостью Пересечение со всякой прямой, параллельной оси х (если оно не пусто), является связным сегментом.

Теорема 1.1. Пусть — область, удовлетворяющая условиям и и пусть гармоническая функция, регулярная в .

Тогда найдутся две функции регулярные в , такие, что будет гармоническим вектором в

Доказательство. Так как функция регулярна в она регулярна в большей области

Предположим, что удовлетворяет условиям и и что ее граница имеет нормаль в каждой точке. Функцию можно рассматривать в как потенциал простого слоя

где элемент площади поверхности Пусть где , и

Тогда

Функции равномерно ограничены в , следовательно, регулярные гармонические функции в (см. [8, стр. 489]).

При дифференцировании правых частей равенств (1.2) и (1.3) мы можем поменять порядок интегрирования и дифференцирования. Так как гармонический вектор, то также гармонический вектор в . Представление (1.4) для можно видоизменить. Каждую гармоническую функцию регулярную в можно представить в в виде

(см. [42, т. II, стр. 235]). Таким образом,

Здесь

Если заданы функции и связанные соотношением то вектор где

будет гармоническим вектором. Здесь С — произвольная постоянная.

Таким образом, имеется свобода в выборе второй компоненты для данной гармонической функции интересно найти вектор или множество векторов, обладающих определенными свойствами.

Рассмотрим сначала представление для некоторого подкласса гармонических векторов. Будем говорить, что если гармоническая функция, четная по х.

Лемма 1.1. Для каждой объемной сферической функции сопряженная функция определяется формулой

Доказательство. Функции

(см. [15, стр. 70], образуют полную систему в классе и

[Правая часть равенства (1.10а) является нечетной гармонической функцией от она не имеет членов, не зависящих от х, см. (1.16).]

Пусть - ортонормальная система полиномов, полная в классе в области . [Полиномы удовлетворяют соотношениям

Здесь элемент объема

Используя (1.10) и мы определим множество гармонических векторов

Теорема 1.2 Пусть

— гармоническая функция класса регулярная области причем область удовлетворяет

условиям и Тогда существует гармонический вектор который представляется в в виде

Вернемся теперь к рассмотрению общего случая гармонических функций, т. е. функций, не обязательно принадлежащих классу

Найдем представление для вектора, первая компонента которого — заданная гармоническая функция регулярная в

Пусть граничная кривая области Для каждой точки кривой построим круг с центром и радиусом Пусть

Расстояние от каждой точки до граничной кривой области не меньше

Как мы доказали ранее, для каждого решения регулярного в , существует сопряженная функция

Пусть сопряженная к Так как то

где функция от у и z. Образуя лапласиан для (1.16), получаем

Подставляя находим, что решение уравнения

Мы можем записать решение уравнения (1.18) в форме

(см. [42, т. I, стр. 315 и далее]). Каждая гармоническая функция регулярная в может быть разложена в в ряд по ортогональным полиномам (X), т. е. по гармоническим полиномам, удовлетворяющим условию (1.11):

Этот ряд сходится равномерно и абсолютно в каждой замкнутой подобласти, лежащей в Таким образом, сопряженная может быть представлена в в виде

где

Замечание. Функции уже не образуют ортонормальную систему в .

Так как (1.20) — гармоническая функция и ряд сходится абсолютно и равномерно во всякой замкнутой подобласти в 93, ряды для производных сходятся также равномерно во всякой области Мы можем менять порядок суммирования и интегрирования в выражении

Таким образом, сопряженная к гармонической функции (1.20), регулярной в , может быть представлена в в виде (1.21), (1.21а). Далее,

является гармонической функцией в

Следовательно, гармонические сопряженные к

Функция

гармонична гармонический вектор в для любого

Теорема 1.3. Гармонический вектор первая компонента которого задана формулой (1.20),

может быть представлен в подобласти области в виде