§ 7. Поведение в целом функций класса с рациональной ассоциированной

Как легко видеть (ср. [25]), подинтегральное выражение в (6.9) представляет собой двузначную функцию, определенную в каждой точке трехмерного пространства Если в (6.9) — рациональная функция, то формула (6.9) дает гиперэллиптический интеграл. Используя теорию гиперэллиптических интегралов, развитую в теории аналитических функций одного комплексного переменного, мы получаем явные формулы для представления гармонических функций трех переменных класса Чтобы применить результаты теории гиперэллиптических интегралов и, в частности, методы, развитые Вейерштрассом, мы приведем наши интегралы к нормальной форме, использованной Вейерштрассом [66]. Введем сначала новую переменную интегрирования

Обозначим через риманову поверхность над плоскостью 5, которая получается из при преобразовании (1). Поверхность имеет точек разветвления

а также точку разветвления при Пусть

Положим

и

(Мы предполагаем, что рациональная функция от С и, следовательно, может быть записана в виде частного двух полиномов.)

Оператор (6.9) принимает теперь вид

Здесь соответственно начальная и конечная точки образа на римановой поверхности (а именно, Используя классический метод изучения выражения (6), мы должны иметь в виду, что подинтегральное выражение зависит не только от переменной интегрирования , но и от х, у, z, которые можно рассматривать как параметры. Используя метод Вейерштрасса (см. [66]), мы вводим на римановой поверхности интегралы первого, второго и третьего рода. Поверхность представляет собой многосвязную область, и для определения периодов мы должны при помощи подходящих циклических сечений (X) и поперечных разрезов преобразовать в односвязную область Область будет зависеть от X, и при определении периодов нужно раз

резать сегментами подходящей поверхности чтобы фундаментальная группа Пуанкаре (одномерная группа гомотопий) области состояла только из единичного элемента. Тогда мы сможем классическим способом определить периоды как интегралы вдоль сечений сначала для фиксированной точки Затем мы можем продолжить эти периоды как функции от Подробнее см. [25, стр. 239—240].

Чтобы определить нормальные интегралы, введем -функции Вейерштрасса, определенные на Запишем

и затем, следуя Вейерштрассу [66, стр. 370—373], определим

где

Теорема 7.1. Функции являются, вообще говоря, бесконечнозначными функциями, определенными в для

заданной точки X в точка описывает замкнутую кривую на дважды покрытой плоскости , причем эта кривая не гомотопна точке (на этой римановой поверхности), то получают приращение вида

где целые числа. (Аналогичные результаты справедливы для и

Как следует из классических теорем Фукса [217], функции рассматриваемые как функции от, (или от у или удовлетворяют обыкновенному дифференциальному уравнению, коэффициенты которого — алгебраические функции от х, у, z.

Следуя Вейерштрассу, определим в стр. 100) нормальные интегралы первого и второго рода, а именно:

Аналогично определяются интегралы третьего рода. Функ кроме особенностей на могут иметь особенности на окружностях

[ определяется формулой (6.10)].

Теорема 7.2. Интеграл вида (6.9) с рациональной ассоциированной функцией может быть представлен как сумма нормальных интегралов первого второго и третьего рода, соответствующих римановой поверхности функции введенной в (3). А именно, (6.9) можно представищь в

формв

Здесь а коэффициенты алгебраические функции от точках интегралы третьего рода имеют логарифмическую бесконечность. См. [66] и [25, стр. 243].

Введение тета-функций и представление интегралов второго и третьего рода с помощью этих функций через интегралы первого рода является одним из значительных достижений теории алгебраических функций. Интересно, что эти методы можно также применить к рассматриваемым классам гармонических функций трех переменных и получить соответствующие результаты. Мы вводим тета-функции от переменных которые зависят от точки как от параметра. При рассмотрении подкласса определенного выше, мы можем выразить каждую функцию принадлежащую этому классу, в замкнутой форме; полученные выражения включают только алгебраические и логарифмические функции, тета-функции и их производные, где аргументы тета-функций заменены линейными комбинациями интегралов с коэффициентами — алгебраическими функциями от х, у, z. Подробности см. в работе [25, стр. 245 и далее]. [3, 5, 7, 9, 25, 28, 30, 33, 37, 38, 66, 103, 125, 126, 155, 158, 198, 199, 204—206, 208, 211. 217, 226, 235]