§ 2. Гармонические векторы в целом и их представление посредством интегралов

Гармонические векторы во многих отношениях представляют собой естественное обобщение аналитических функций одного комплексного переменного на три измерения. Уравнения (1) играют в трехмерном случае ту же роль, что и сопряженные уравнения Коши — Римана в случае плоскости. Однако, сравнивая положение в трехмерном и двумерном случаях, мы находим важные различия. В случае аналитических функций действительные части определяют мнимые с точностью до аддитивной постоянной, в то время как, согласно лемме из § 1, произвольный элемент, появляющийся при определении гармонического вектора по одной из компонент, составляет действительную и мнимую части аналитической функции. Далее, действительная гармоническая функция на плоскости имеет действительную гармоническую сопряженную, также не имеющую особенностей (хотя, быть может, многозначную) в этой области; в случае гармонических векторов соответствующий факт, вообще говоря, не имеет места. Это явствует из следующего примера: пусть 8— произвольная область, не содержащая точек отрицательной части оси х (включая 0). Тогда, как легко проверить вычислением, гармоническая функция

может быть взята за первую компоненту векторного поля гармонического и регулярного всюду в за вторую и третью компоненты можно принять функции

[По лемме из § 1, поле Н наиболее общего вида определяется формулой (1.2). Относительно особенностей функций (1) см. стр. 77-80.]

Функция в (1.2) зависит только от у и z, следовательно, множество ее особенностей не зависит от х. Таким образом, множество особых точек любой функции, сопряженной с содержит либо отрицательную, либо положительную часть оси х. Итак, мы видим, что если область содержит точки из обеих половин оси х, то нельзя определить гармоническое векторное поле, регулярное в , с первой компонентой

Пример; данный в предыдущем абзаце, не только показывает, что нельзя, вообще говоря, дополнить данную гармоническую функцию до гармонического поля; он также подсказывает рассмотрение некоторого класса областей, для которых такое дополнение всегда возможно. Этот класс областей описывается в следующей лемме.

Лемма. Пусть — область, ограниченная гладкой замкнутой поверхностью и пусть всякая прямая, параллельная оси х, пересекает по одному прямолинейному отрезку (или вообще не пересекает). Тогда для каждой функции гармонической в найдутся функции такие, что образуют гармоническое векторное поле в .

Доказательство. В силу классических результатов теории потенциала, представляется в каждой точке в виде

где подходящая непрерывная функция, определенная на Из предположений относительно следует, что границу можно разделить на две непересекающиеся части

такие, что если точка то отрезок лежит вне . Сразу ясно, что функции вполне определены на формулами

где

Наконец, производя требуемые дифференцирования под знаком интеграла, непосредственно убеждаемся в том, что векторное поле удовлетворяет уравнениям (1.1).

Таким путем показано, что в некоторых областях каждая гармоническая функция естественным образом может быть дополнена до гармонического векторного поля.

С другой стороны, если не является областью типа, описанного в лемме, то для данной гармонической функции, регулярной в , может не существовать пары гармонических функций регулярных в и таких, что образуют гармонический вектор. Пример такой гармонической функции дан выше (см. стр. 132).

Это подсказывает нам рассмотрение областей со следующим свойством. Пусть где — подходящая кривая в плоскости отрезок!) . Предположим, что область можно разбить поверхностями на конечное число подобластей каждая из которых удовлетворяет условиям леммы на стр. 132. Таким образом, в каждой области всякой заданной гармонической функции регулярной в , мы можем поставить в соответствие две гармонические функции

и регулярные в так что гармонический вектор. Граница каждой области состоит из частей границы области возможно, кусков одной или нескольких поверхностей Можно определить так, чтобы они были регулярны также и на кусках принадлежащих границам областей и Тогда

где функция комплексного переменного регулярная в проекции области на плоскость

Определение. Векторное поле называется В-регулярным в области если оно гармонично в каждой из областей а его первая компонента — регулярная гармоническая функция во всей области . (Таким образом, вторая и третья компоненты могут испытывать разрывы вдоль поверхностей — общих частей границ различных областей

По аналогии со случаем функций комплексного переменного мы вводим в случае односвязных или многосвязных однолистных областей нормальные векторы первого, второго и третьего рода. Пусть — область, граница которой состоит из конечного числа достаточно гладких граничных поверхностей

Пусть, далее, удовлетворяет сформулированным выше условиям, так что для каждой гармонической функции можно определить -регулярный гармонический вектор Тогда вектор первая компонента которого принимает значение 1 на компоненте границы и равна нулю на остальной части границы, называется нормальным В-регулярным вектором первого рода.

В двумерном случае представление интегралов первого рода получается использованием ортогональных функций. Аналогично, используя ортогональные функции, можно

получить представление нормального гармонического вектора Пусть система ортогональных функций, т. е. функций, для которых

причем эта система полна в классе гармонических функций в , для которых Пусть ядро этой системы. Тогда

где — внутренняя нормаль и элемент поверхности (см. 1.5).

Пусть компонента области описанная выше (см. стр. 133). Пусть, далее, найдется значение такое, что проекция на плоскость лежит в (Это предположение не является существенным, но упрощает представление.) Введем теперь новую систему координат где точка в Далее, пусть Тогда компоненты -регулярного векторного поля представляются в каждой области в форме

Эти соотношения получаются непосредственным вычислением; подробности см. в [38]. Аналогичным путем можно определить гармонические векторы второго и третьего рода и получить представления для них.