§ 9. Дифференциальное уравнение ...
Эйхлер в работе [234] рассматривает другой тип дифференциального уравнения, а именно
где
Согласно рассуждениям из § 1, решения 
уравнения (1) порождаются интегральными операторами
где 
удовлетворяет уравнениям
Всегда существует функция 5 вида
(см. [234, стр. 260].) В этом случае второе из соотношений (4) принимает вид
По аналогии с 
представляется в виде 
где 
постоянные интегрирования (восходящий ряд); 
можно также записать в виде 
(нисходящий ряд), где 
связаны рекуррентными формулами
Различные свойства оператора 
(см. теоремы 9.1-9.4) установлены в [234] при условии, что 
Теорема 9.1. Существует одна и только одна каноническая порождающая функция вида (5) по
отношению к началу координат. Она может быть записана в виде
где 
удовлетворяет уравнению гиперболического типа
Начальные условия следующиех
Теорема 9.2. Пусть
где 
пробегает для 
некоторое множество действительных чисел. Пусть ряд (14) абсолютно и равномерно сходится при 
и пусть функция 
регулярна в области 35, содержащейся в полосе 
исключая самое большее счетное число изолированных особенностей. Наконец, пусть 
удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению
с начальными условиями 
Тогда ряд
обладает следующими свойствами:
(1) он сходится абсолютно и равномерно при 
(2) его можно аналитически продолжить в пересечение области 35 и области 2), симметричной 35 относительно оси 
(3) функция 
регулярна там, где регулярны одновременно 
(4) в особой точке функции 
имеем
где многоточие обозначает повторные интегралы от 
[см. (7)] и функцию, которая зависит аналитически от обоих действительных переменных 
Теорема 9.3. Пусть
и ряд (18) сходится абсолютно и равномерно для 
Функции 
снова определяются как решения уравнения (15) с начальными значениями
Пусть 
имеет свойства, указанные в теореме 9.2, но 
Тогда справедливы те же утверждения относительно ряда (16), исключая то, что 
имеет особенность только тогда, когда 
имеет особенность.
Теорема 9.4. Пусть 
положительная константа, такая, что функция 
регулярна при 
Если постоянные интегрирования 
в (8) удовлетворяют условию
с произвольным 7, то ряд для порождающей функции
абсолютно сходится при
(Восходящий) ряд (7) абсолютно сходится для каждой регулярной аналитической функции 
, если 
