§ 4. Представление оператора первого рода посредством интегралов

Перейдем к новому представлению интегрального оператора первого рода, полезному для различных целей.

Обозначения. Пусть функции двух комплексных переменных регулярные в области пространства двух комплексных переменных и пусть функция комплексного переменного z, регулярная в области содержат начало координат). Введем следующие сокращенные обозначения:

где

и т. д. число букв фигурирующих в выражении (1); число предшествующих букв

После каждого символа F в выражении для стоит двойной интеграл после каждого простой интеграл

Через мы обозначим сумму выражений

куда входят все возможные комбинации за исключением тех, в которых стоит на последнем месте. Например,

Теорема 4.1. Пусть целые функции двух комплексных переменных Тогда

является решением уравнения [см. (1.6а), стр. 26] со следующим свойством

Доказательство. Если мы вместо в уравнение

подставим правую часть равенства (3), то, очевидно, в обеих частях равенства (5) мы получим один и тот же бесконечный ряд.

Следовательно, мы должны только показать, что ряд (3) и его производные сходятся равномерно для где произвольное положительное число. Пусть

где подходящие константы. Тогда

где . Аналогично показывается, что ряд, полученный почленным дифференцированием правой части формулы (3), абсолютно сходится.

Согласно формуле (1.5),

Функция является комплексной функцией от х и у» т. е. при действительных значениях х, у (при она принимает комплексные значения. Для функция

дает действительное решение уравнения (1.6).