§ 8. Интегральные операторы экспоненциального типа

Как показано во многих работах, существует бесконечное множество интегральных операторов для данного дифференциального уравнения. Для разных целей полезно рассматривать интегральные операторы, отличные от интегральных операторов первого рода. В этом параграфе мы изучим так называемые интегральные операторы экспоненциального типа. Если порождающая функция

имеет вид

(т. e. Q - полином по t), то оператор (1.8) называется интегральным оператором экспоненциального типа. В работе [14] показано, что интегральные операторы типа (1) являются ценным инструментом для исследования различных свойств регулярных и сингулярных решений уравнения [см. (1.6)]. В частности, интегральные операторы этого типа позволяют находить обыкновенные дифференциальные уравнения с рациональными (или алгебраическими) коэффициентами, которым удовлетворяют некоторые решения уравнения

Поэтому мы можем использовать теорию обыкновенных дифференциальных уравнений для изучения свойств решений, полученных применением порождающей функции (1). Различные дифференциальные уравнения, обладающие интегральными операторами такого типа, рассматривались в работах [14, 118, 120].

В [118] даются необходимые и достаточные условия на коэффициенты уравнения (1.6а), при которых существует такая порождающая функция. Интересно, что для таких порождающих функций решение уравнения (1.6а), полученное при помощи ассоциированной функции вида

удовлетворяет обыкновенному дифференциальному уравнению, порядок которого не зависит от показателя степени в (2), а зависит только от степени полинома

Теорема 8.1. (а) Если коэффициенты уравнения (1.6а) можно представить в виде

где

то мы можем связать с уравнением (1.6а) порождающую функцию вида (1), где остальные коэффициенты полинома определяются следующими формулами:

(б) То же справедливо, если коэффициент D может быть представлен в виде (3) и

где имеет вид (7). Однако в этом случае в то время как может быть функцией от z (не обязательно постоянной, как в предыдущем случае).

(в) Исключая тривиальный случай, когда кроме того, зависит от z, не существует коэффициентов уравнения (1.6а), кроме указанных в (а) и (б), для которых уравнение (1.6а) имеет ассоциированную с ним порождающую функцию экспоненциального типа [118].

Теорема 8.2. Пусть решение уравнения (1.6а), полученное применением порождающей

функции вида (1) к функции (2). Тогда функция удовлетворяет при, любом фиксированном значении обыкновенному линейному дифференциальному уравнению (по переменному

Порядок уравнения не зависит от величины в (2) и зависит только от степени полинома Всегда можно определить уравнение (11) так, чтобы порядок его не превосходил

С помощью обыкновенных дифференциальных уравнений (11) (каждому значению соответствует одно уравнение) можно провести детальное исследование характера особенностей решений уравнения (1.6а) в рассматриваемом здесь случае (т. е. когда коэффициенты удовлетворяют требованиям теоремы 1). Некоторые результаты в этом направлении даются в работах [14, 118, 120].