§ 6. Обобщенные уравнения Коши — Римана

В предыдущих параграфах этой главы мы изучили построение решений уравнений в частных производных вида

с помощью интегральных операторов. При получаемые таким образом решения можно рассматривать как обобщение аналитических функций комплексного переменного. В настоящем параграфе мы рассмотрим пары действительных функций, скажем Эти пары связаны таким способом, который является обобщением связи сопряженных гармонических функций. Обе функции удовлетворяют уравнению эллиптического типа. Если то каждая из функций удовлетворяет уравнению гиперболического типа. Таким образом, если и мы получаем функции, удовлетворяющие уравнению смешанного типа. Проведем более подробное исследование некоторых свойств получаемых таким путем комплексных функций. Пусть

При помощи соответствующего дифференцирования находим, что удовлетворяют уравнениям

Введем теперь две последовательности частных решений системы (1), которые можно рассматривать как обобщения действительных и мнимых частей функций Последние функции играют основную роль в случае

Определим сначала две последовательности функций следующим образом:

или

Здесь любая заданная постоянная. Тогда определим упомянутые выше последовательности решений системы (1) так:

и

Непосредственной подстановкой легко показать, что каждая пара функций удовлетворяет системе (1). Далее, если то очевидно, что сводятся соответственно к поэтому в равенствах (4а) и (4б) мы используем соответственно обозначения

Любому полиному действительны) мы можем естественным образом поставить в соответствие следующую пару функций удовлетворяющих системе (1):

Оператор введен в [17, 18]. Аналогичный оператор, порождающий решения системы уравнений несколько более общего вида, чем (5), был дан независимо Берсом и Гельбартом [56]. Функции, полученные ими, названы сигма-моногенными. Частный случай их системы рассмотрен Важоньи [не опубликовано].

Кратко отметим теперь одно применение последовательностей (4а) и (46): нахождение оценок сверху и снизу для решений задачи Коши, встречающейся в теории уравнений смешанного типа. Подробный анализ можно найти в статье [36, § 5]. Сначала сформулируем следующую теорему, которая также доказана в упомянутой статье.

Пусть функция удовлетворяет уравнению (2а) в прямоугольнике и является аналитической по обоим переменным в этом прямоугольнике.

Пусть на прямой Функция удовлетворяет условиям

где ряды и сходятся абсолютно при Предположим далее, что при где с — подходящим образом выбранная положительная постоянная. Тогда в той части определенного выше прямоугольника, где выполнено дополнительное условие представляется сходящимся рядом

(Здесь производные порядка от Предположим теперь, что полином удовлетворяет при неравенствам

где (Отрицательность соответствует гиперболическому типу уравнения.) Тогда в той части указанной в формулировке теоремы области, где выполнено дополнительное условие функция удовлетворяет следующим двум неравенствам:

В формуле (9) символ обозначает как обычно, гипергеометрическая функция. Неравенства (9) легко устанавливаются с помощью и (8) в случае, когда сводится к одному члену , а в более общем случае эти неравенства получаются сложением неравенств для каждого члена. Подобные неравенства можно получить при —а также в случае, когда обращается в нуль, полином. Все эти неравенства тоже даны в статье, на которую мы выше сослались.

Замечание. При рассмотрении модели течения сжимаемой жидкости различные авторы (Чаплыгин, Черри, Лайтхилл, Карман, Цянь и др.) развили различные методы построения решений возникающего в этой теории уравнения смешанного типа. См., например, [158]. Каждый из этих методов определяет некоторый оператор.