Главная > Интегральные операторы в теории линейных уравнений с частными производными
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

§ 5. Связь между коэффициентами разложения гармонической функции в ряд и ее особенностями

В случае аналитических функций одного комплексного переменного результаты Адамара и других дают необходимые и достаточные условия мероморфности функции, а также условия для определения расположения ее полюсов. Интегральный оператор первого рода позволяет нам обобщить эти результаты на случай дифференциальных уравнений (1.1.6), в предположении, что коэффициенты целые функции.

Оператор (2.12) позволяет в некоторых случаях дать достаточные условия того, что гармоническая функция имеет особенности типа полюса, рассмотренные в § 3.

Мы опишем процесс, приводящий к этим результатам, сначала в простейшем случае.

Пусть мы имеем разложение

где

— функции, введенные в (2.6). Напишем

Так как фиксированное целое число, то при рассмотрении мы можем применить критерий Адамара из теории функций одного комплексного переменного к который устанавливает, что эта функция мероморфна или имеет существенную особенность, Далее, используя известные приемы теории

тических функций одного комплексного переменного, мы можем определить расположение полюсов, т. е. мы можем записать

Используя затем результаты, изложенные на стр. 77 и далее, находим, что если действительного

имеет особую кривую (или точку), рассмотренную в п. (а) или (б) на стр. 77. Если мнимая часть не равна нулю, то гармоническая функция (За) имеет особую кривую, рассмотренную в п. (в) или (г) на стр. 79 и 80. Обобщая этот подход, мы получаем следующие результаты. Предположим, что коэффициенты при в разложении (1) стремятся к нулю так быстро, что ряд

является целой функцией от х, у, z при Поставим в соответствие ряду числа

где

Тогда существует следующая связь между свойствами последовательности и характером особенностей

I. Предположим, что для Тогда мы можем определить полиномы (степени

обладающие следующим свойством: если

(т. е. не имеет кратных корней), то

где

— алгебраические функции от алгебраическая функция от данная на стр. 553 в работе [33])

Функция имеет только конечное число особенностей типа полюса на кривых

II. Предположим, что для частное становится постоянным, скажем Тогда мы имеем то же положение, что и в случае I, с той только разницей, что представление (6) справедливо не во всем пространстве, а только в шаре

III. Пусть последовательность стремится к нулю при и справедлива формула (5). Если ряд

сходится для то можно найти константы скажем такие» что имеет место равенство

(см. [33, (4.13), стр. 551]). Если то можно представить в виде (6), где имеет вид

где

являются решениями трансцендентного уравнения

которые лежат в единичном круге для значений принадлежащих достаточно малой окрестности начала координат. Функции являются, вообще говоря, бесконечнозначными. В случае, когда

мы получаем выражение для которое несколько отличается от (11) (см. (4.30) в [33, стр. 555]). Случай также рассматривается в указанной статье, стр. 555 и далее.

IV. Пусть, последовательность стремится к положительной постоянной Тогда ситуация анало гична случаю III, но полученное представление имеет место дищь щаре радиуса Подробнее см. в работе (38).

1
Оглавление
email@scask.ru