§ 2. Разложение в ряд решений уравнения ...

Мы скажем, что функция удовлетворяет условию если она разлагается в равномерно сходящийся ряд по функциям Лежандра

(Коэффициенты выражаются, разумеется, в виде известных интегралов, которые Получаются, если принять во внимание свойства ортогональности членов написанного выше ряда.)

Теорема 2.1. Пусть сферическая поверхность внутренность Предположим, что существует положительная функция , непрерывная в и такая, что всякая функция , удовлетворяющая уравнению (0,1,8а) в и непрерывная в удовлетворяет также неравенству

Предположим далее, что удовлетворяет условию Тогда может бить разложена в следующий ряд, равномерно сходящийся на каждом компактном подмножестве из

где

Доказательство. Для любого натурального числа Л? пусть обозначает частную сумму ряда (3). Из § 1 видно что удовлетворяет уравнению (0.1.8а), стр. 16, всюду внутри и непрерывна в Так как удовлетворяет условию для любого можно найти такое что для всех справедливо неравенство

Из неравенств (5) и (2) (в последнем мы заменяем на мы получаем

Если точка принадлежит любому компактному подмножеству из то мы имеем

где

Из (7) следует равномерная сходимость ряда (3) к сумме и доказательство закончено.

Здесь подразумевалось, что величины не равны нулю. Однако это немедленно следует из предположений теоремы. Что касается существования функции ,

обладающей требуемыми свойствами, то сразу видно, что достаточным условием для этого является существование фуншши Грина уравнения (0.1.8а) для шара Тогда за функцию А можно принять интеграл по в нормальной компоненты градиента этой функции Грина.

Сформулируем без доказательства следующее утверждение.

Теорема 2.2. Пусть функция удовлетворяет условиям теоремы 2.1, так что ее можно разложить в ряд вида (3). Пусть ряд, получаемый из (3) при помощи разложения в ряды по щепеням и перестановки членов правой части (3) по степеням Ряд сходится во внутренности к сумме

Детали; доказательства и более подробное изучение свойств решений уравнения (0.1.8а) читатель найдет

Как и в случае дифференциальных уравнений с двумя йезависимымн переменными, важно с одним и; тем., же дифференциальным уравнением с тремя независимыми переменными связывать различные операторы. Здесь, .мы коротко рассмотрим полезное видоизменение представления (1.4).

Если функция аналитична по и в некоторой окрестности точки и — 0 для всех С, то очевидно, что интеграл

определяет функцию где гармонична и регулярна в начале координат Таким образом, представление (1.4) можно заменить представлением

Далее, ко всякой гармонической функции регулярной в начале координат, мы можем применить

оператор

где

определены в § 1 [см. (1.12а), (1.126), (1.13)].

Этот новый оператор имеет замечательное свойство, аналогичное тому, которым обладают операторы первогр. рода в случае двух независимых переменных. Напомним (см. гл. I), что ассоциированная функция может быть получена из решения дифференциального уравнения с мощью формулы обращения, которая почти не зависит от коэффициентов этого дифференциального уравнения.

В случае оператора формула обращения может быть получена следующим образом. Пусть функция [см. (II. 2.12)] гармонична и регулярна в начале координат, и пусть решение уравнения (0.1.8а) определено по формуле (10). Тогда нетрудно показать, что из формулы (10) и из определения величин следует равенство

т. e. ассоциированная функция и решение уравнения (0.1.8а) совпадают в характеристическом пространстве

Оператор (10) позволяет получить обобщения многих результатов из § II. 2 - II. 5 на случай дифференциалу ного уравнения