§ 5. О решении задачи Коши в целом

Особый интерес в связи с уравнениями в частных производных смешанного типа представляет случай, когда начальные условия заданы на "линии перехода", т. е. на кривой, разделяющей части плоскости, в которых рассматриваемое уравнение является соответственно эллиптическим или гиперболическим. Теория для таких задач еще недостаточно развита, поэтому интересно дать некоторые результаты, касающиеся этой задачи для уравнения, рассмотренного в этой главе. Линия перехода задается уравнением (или ; см. (1.1), (1.3), (1.6). В частности, предположим, что заданы значения вдоль некоторого отрезка линии перехода. Тогда возникает вопрос, как далеко можно продолжить решение в область эллиптичности и как расположение и характер особенностей зависят от начальных данных. В этом параграфе мы кратко отметим некоторые частные результаты. Для удобства мы будем говорить об уравнении (1.3), но результаты сразу же переносятся на уравнения (1.1) и (1.6). Эти результаты содержатся в следующих двух теоремах. Доказательство читатель найдет в работе [29].

Пусть I — простая кривая, соединяющая точки —1 и 1 комплексной плоскости и лежащая целиком в кольце где А достаточно велико. Для каждой

точки С мы обозначим через с кривую, которую описывают точки когда пробегает кривую 1 от —1 до Далее, обозначим через область

Например, если верхняя половина единичной окружности, то окружность так что является объединением всех окружностей, проходящих через начало координат и точки 3 и имеющих отрезок своим диаметром. В более общем случае, когда пробегает произвольную кривую от —1 до точка описывает замкнутую кривую с, проходящую через начало координат. Таким образом, является объединением всех замкнутых кривых с каждая из которых проходит через начало координат и получается из фиксированной кривой с растяжением в раз и поворотом на угол Ясно, что в качестве фиксированной кривой с может быть выбрана любая замкнутая кривая, проходящая через начало координат, и что начало координат будет граничной точкой для всех областей

Теорема 5.1. Пусть функции от у, обладающие представлениями вида

Определим функцию формулой

где

Если область расположена внутри области и содержит отрезок О и если регулярна в то

где является решением дифференциального уравнения (1.3), регулярным в и таким, что

Теорема 5.2. Пусть две действительные функции, регулярные при и разлагающиеся в ряд вида (2). Пусть функция линейные комбинации величин вычисляемые по формуле (4), имеет в окрестности точки разложение вида

справедливое при Тогда существует решение дифференциального уравнения (1.3),

регулярное в области и такое, что

которое имеет особенность в бесконечности.

Хотя результаты, содержащиеся в этих двух теоремах, дают лишь частичный ответ на поставленные выше вопросы, они показывают, как метод интегральных операторов может использоваться для анализа таких задач. (См. [27, 29, 34].)