Глава I. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ С ЦЕЛЫМИ КОЭФФИЦИЕНТАМИ С ДВУМЯ НЕЗАВИСИМЫМИ ПЕРЕМЕННЫМИ

Формула (0.1.4) позволяет связать с каждым решением дифференциального уравнения (0.1.16) некоторую аналитическую функцию комплексного переменного. Возникает обратная задача определения по данной функции соответствующего решения уравнения (0.1.16). Решить эту задачу можно, вводя так называемый интегральный оператор первого рода, который будет описан в § 1—3. Мы выразим решения через произвольную функцию комплексного переменного Затем будет выражена через функцию которая в существенном совпадает с [см. (2.1) и (2.5)].

§ 1. Представление решений уравнений с частными производными

Лемма. Пусть непрерывно дифференцируемые функции для и пусть

где произвольная аналитическая функция комплексного переменного, регулярная для

Пусть, далее, функция при дважды непрерывно

дифференцируемое решение уравнения

обладающее следующими свойствами.

Для имеем

(равномерно по Кроме того, отношение непрерывно для

Пусть

где аналитическая функция комплексного переменного, регулярная в начале координат,

и — путь в комплексной плоскости соединяющий точки —1 и минуя точку Тогда (4) является решением уравнения

дважды непрерывно дифференцируемым в .

Доказательство. Как показывает формальное вычисление; достаточно доказать, что

является решением уравнения

(кликните для просмотра скана)

Таким образом, если удовлетворяет уравнению (2), а произвольная аналитическая функция одного комплексного переменного, регулярная в начале координат, то формула (4) дает решение уравнения

Определение. Мы назовем [см. (5)] порождающей функцией для дифференциального уравнения (6) относительно начала координат.

Равенство (4) дает комплексное решение уравнения (6). Если и функция -действительная, то мы получаем для действительные решения в виде

где через мы обозначили функцию (5), а через аналогичное выражение, определяемое равенством

Для данного дифференциального уравнения (6) существует бесконечно много порождающих функций . Интересно исследовать эти функции и выделить среди них обладающие интересными свойствами.

Для гармонических функций мы имеем представление

где произвольная аналитическая функция комплексного переменного. Мы покажем, что порождающие функции в формуле (14) можно выбрать так, что эта формула после небольшой модификации даст обобщение формулы (15),