§ 5. Свойства интегрального оператора первого рода

Формулами (2.4) и (2.2) мы определили оператор преобразующий аналитические функции комплексного переменного в (действительные) решения дифференциального уравнения (1.6). В простейшем случае, а именно в случае гармонического уравнения, оператор становится тождественным, так как Интересно, что в общем случае уравнения (1.6) сохраняются многие свойства функции и различные соотношения между и соответствующим (комплексным или действительным) решением уравнения (1.6) не зависят от коэффициентов или зависят только от некоторых свойств этих коэффициентов.

Во многих случаях эти соотношения следуют из того, что область регулярности решения (для комплексных значений полностью определяется областью регулярности в действительной области.

Теорема 5.1. Пусть коэффициенты А, В, С уравнения [см. (1.6)] являются функциями двух комплексных переменных регулярными в достаточно широкой области. Тогда каждое решение регулярное в области (действительной) плоскости х, у, может быть продолжено в область пространства Здесь произведение областей где — область в плоскости та же область в плоскости z.

Доказательство. Для каждого уравнения в частных производных (1.6) с регулярными коэффициентами существует фундаментальное решение

где — регулярные функции от По теореме Грина решение определяемое в односвязной

области действительной плоскости, может быть представлено в виде

Здесь — внутренняя нормаль, линейный элемент границы области

Рис. 1.1. Схематическое изображение области в действительной плоскости и соответствующей области в пространстве

Мы получаем аналитическое продолжение z функции на комплексные значения х, у, заменяя z на z. Так как решение F обладает особенностями только на плоскостях

где точки границы области мы видим, что функция регулярна в области (четырехмерного) пространства которая ограничена (трехмерными)

гиперповерхностями

и

Этим доказательство заканчивается.

Рассмотренный здесь подход приводит к задаче продолжения решения уравнения (0.1.1а), регулярного в области на комплексные значения а; и у, То, что решение может быть продолжено на четырехмерную область которая не зависит от уравнения, было впервые доказано в работе [13] см. также [14]. Позднее другое доказательство того же результата было дано в работе [71].

Определение. называется комплексной оболочкой области